Flervariabelanalys - Om en funktion är Kontinuerlig/Differentierbar

Hej!
Jag har fått en uppgift som lyder såhär:

Jag är lite osäker på deluppgift a) och c).
I a) uppgiften så använde jag mig av definitionen för kontinutet som säger att en funktionen är kontinuerlig i punkten (a,b) om $\lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y) = f (a, b)$ . Så jag beräknar gränsvärdet $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ med hjälp av att införa polära koordinater och får att gränsvärdet blir 0 med hjälp av instängningsargumentet: $\lim_{r \to 0} \frac{r^{2} \cos θ \sin θ}{\sqrt{r^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{r \cos θ \sin θ}{1} d ä r : 0 \leq r |\cos θ \sin θ| \leq r s o m b l i r 0 . t y \cos θ \sin θ ä r b e g r ä n s a t (- 1 \leq c os θ \sin θ \leq 1)$

Betyder detta att funktionen är kontinuerlig i punkten (0,0) på grund att man lagt till villkoret att funktionen är 0 om (x,y)=(0,0)? För funktionen är väl inte kontinuerlig i (0,0) utan detta villkor?

I c) uppgiften så har jag tagit hjälp av definitionen och kommit fram till:

$f (0 + h, 0 + k) - f (0, 0) = f'_{x} (0, 0) h + f'_{y} (0, 0) k + \sqrt{h^{2} + k^{2}} \cdot ρ (h, k) d ä r f (0, 0) = 0, f'_{x} (0, 0) h = 0, f'_{y} (0, 0) k = 0 v i l k e t g e r : f (h, k) = \sqrt{h^{2} + k^{2}} \cdot ρ (h, k) \frac{h \cdot k}{\frac{\sqrt{h^{2} + k^{2}}}{\sqrt{h^{2} + k^{2}}}} = ρ (h, k), e f t e r f ö r e n k l i n g f å r v i : \frac{h \cdot k}{h^{2} + k^{2}} = ρ (h, k), o c h v i v e t j u a t t ρ (h, k) g å r m o t 0 d å h, k g å r m o t 0 . N u a n v ä n d e j a g m i g a v g r ä n s v ä r d e n f ö r a t t r e d a p å o m \frac{h \cdot k}{h^{2} + k^{2}} g å r m o t 0 d å h, k g å r m o t 0, d . v . s \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{h \cdot k}{h^{2} + k^{2}} m e n s ä t t e r v i t . e x h = k = t s å f å r v i : \lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{2 t^{2}} = \frac{1}{2} v i l k e t ä r s k i l t f r å n 0 \to f u n k t i o n e n e j ä r d i f f e r e n t i e r b a r i p u n k t e n (0, 0) . Ä r d e n n a m e t o d k o r r e k t o c h i s å f a l l r ä c k e r d e t t a s o m m o t i v a t i o n ?$

Edit: Vet ej varför paranteserna blev så stora, första gången jag gör inlägg här så ber om ursäkt om det är jobbigt att läsa

På a tycker jag du har helt rätt. På c måste jag ha papper om jag ska verifiera derivatan, men det viktiga är att den får samma värde hur man än närmar sig origo, men den får gärna vara 1/2. Varför måste den vara 0?

Laguna skrev:
På a tycker jag du har helt rätt. På c måste jag ha papper om jag ska verifiera derivatan, men det viktiga är att den får samma värde hur man än närmar sig origo, men den får gärna vara 1/2. Varför måste den vara 0?

Jo absolut, men om man parametriserar x -axeln eller y -axeln så får man att den går mot 0 och inte 1/2,vilket betyder att det inte existerar något gränsvärde och detta leder till att $ρ (h, k) s o m s k a v a r a 0 i n t e b l i r 0$ .Då kan man väl dra slutsatsen att funktionen inte är differentierbar i den punkten eller tänker jag fel nu?

Krasten skrev:
Laguna skrev:
På a tycker jag du har helt rätt. På c måste jag ha papper om jag ska verifiera derivatan, men det viktiga är att den får samma värde hur man än närmar sig origo, men den får gärna vara 1/2. Varför måste den vara 0?
Jo absolut, men om man parametriserar x -axeln eller y -axeln så får man att den går mot 0 och inte 1/2,vilket betyder att det inte existerar något gränsvärde och detta leder till att $ρ (h, k) s o m s k a v a r a 0 i n t e b l i r 0$ .Då kan man väl dra slutsatsen att funktionen inte är differentierbar i den punkten eller tänker jag fel nu?

Nu blev jag osäker på vad som krävs för differentierbarhet. Jag tar tillbaka det där med olika riktningar.

Laguna skrev:
Krasten skrev:
Laguna skrev:
På a tycker jag du har helt rätt. På c måste jag ha papper om jag ska verifiera derivatan, men det viktiga är att den får samma värde hur man än närmar sig origo, men den får gärna vara 1/2. Varför måste den vara 0?
Jo absolut, men om man parametriserar x -axeln eller y -axeln så får man att den går mot 0 och inte 1/2,vilket betyder att det inte existerar något gränsvärde och detta leder till att $ρ (h, k) s o m s k a v a r a 0 i n t e b l i r 0$ .Då kan man väl dra slutsatsen att funktionen inte är differentierbar i den punkten eller tänker jag fel nu?
Nu blev jag osäker på vad som krävs för differentierbarhet. Jag tar tillbaka det där med olika riktningar.

Enligt definitionen krävs det att $ρ (h, k)$ ska gå mot noll när h,k går mot noll (oavsett hur man närmar sig punkten)men då jag lyckats bevisa motsatsen så måste det väl betyda att funktionen inte är differentierbar i origo?

Krasten skrev:
Laguna skrev:
Krasten skrev:
Laguna skrev:
På a tycker jag du har helt rätt. På c måste jag ha papper om jag ska verifiera derivatan, men det viktiga är att den får samma värde hur man än närmar sig origo, men den får gärna vara 1/2. Varför måste den vara 0?
Jo absolut, men om man parametriserar x -axeln eller y -axeln så får man att den går mot 0 och inte 1/2,vilket betyder att det inte existerar något gränsvärde och detta leder till att $ρ (h, k) s o m s k a v a r a 0 i n t e b l i r 0$ .Då kan man väl dra slutsatsen att funktionen inte är differentierbar i den punkten eller tänker jag fel nu?
Nu blev jag osäker på vad som krävs för differentierbarhet. Jag tar tillbaka det där med olika riktningar.
Enligt definitionen krävs det att $ρ (h, k)$ ska gå mot noll när h,k går mot noll (oavsett hur man närmar sig punkten)men då jag lyckats bevisa motsatsen så måste det väl betyda att funktionen inte är differentierbar i origo?

Jag kan skylla på att jag läste på mobilen först. Derivatan kan förstås vara olika i olika riktningar, men den där $\rho$ ska gå mot noll i alla riktningar mot origo. Den gör inte det, så då är funktionen inte differentierbar.

I min gamla bok används en annan definition som antagligen är ekvivalent, men på svenska wikipedia står det om $\rho$ (på den engelska uttrycker de sig på ett annat sätt).

Hej!

Din funktion $f$ är kontinuerlig i punkten $(0,0)$ om det gäller att

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = f(0,0)$

oavsett hur punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$ .

Du har visat att $f(x(r,\theta),y(r,\theta)) = r \cdot \cos\theta\sin\theta$ , som är samma sak som $0.5r\sin 2\theta$ och oavsett vinkeln $\theta$ närmar sig detta funktionsvärde talet $0$ då $r \to 0$ ; eftersom $f(0,0) = 0$ så har du visat att funktionen är kontinuerlig i punkten $(0,0)$ .

Funktionens partiella derivator är

$f^{'}_{x}(x,y) = y^3(x^2+y^2)^{-1.5} \text{ och } f^{'}_y(x,y) = x^3(x^2+y^2)^{-1.5}$ när $(x,y) \neq (0,0)$ .

När punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$ får man olika resultat hos de partiella derivatorna; till exempel är

$f^{'}_{x}(x(r,\theta),y(r,\theta)) = \sin^3\theta$ oavsett vad $r$ är.

Detta betyder att $f^{'}_x(0,0)$ inte existerar och därmed kan inte funktionen $f$ vara differentierbar i punkten $(0,0)$ .

Albiki skrev:
Funktionens partiella derivator är
$f^{'}_{x}(x,y) = y^3(x^2+y^2)^{-1.5} \text{ och } f^{'}_y(x,y) = x^3(x^2+y^2)^{-1.5}$ när $(x,y) \neq (0,0)$ .
När punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$ får man olika resultat hos de partiella derivatorna; till exempel är
$f^{'}_{x}(x(r,\theta),y(r,\theta)) = \sin^3\theta$ oavsett vad $r$ är.
Detta betyder att $f^{'}_x(0,0)$ inte existerar och därmed kan inte funktionen $f$ vara differentierbar i punkten $(0,0)$ .

Om det vore så får jag det till att z = 2x+3y inte heller vore differentierbar.

Laguna skrev:
Albiki skrev:
Funktionens partiella derivator är
$f^{'}_{x}(x,y) = y^3(x^2+y^2)^{-1.5} \text{ och } f^{'}_y(x,y) = x^3(x^2+y^2)^{-1.5}$ när $(x,y) \neq (0,0)$ .
När punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$ får man olika resultat hos de partiella derivatorna; till exempel är
$f^{'}_{x}(x(r,\theta),y(r,\theta)) = \sin^3\theta$ oavsett vad $r$ är.
Detta betyder att $f^{'}_x(0,0)$ inte existerar och därmed kan inte funktionen $f$ vara differentierbar i punkten $(0,0)$ .
Om det vore så får jag det till att z = 2x+3y inte heller vore differentierbar.

Det får du väl inte? Om $z=f(x,y)=2x+3y$ så är $f_x=2$ och $f_y=3$ . Dessa är helt oberoende av vilken väg du väljer, det är alltid samma värde.

woozah skrev:
Laguna skrev:
Albiki skrev:
Funktionens partiella derivator är
$f^{'}_{x}(x,y) = y^3(x^2+y^2)^{-1.5} \text{ och } f^{'}_y(x,y) = x^3(x^2+y^2)^{-1.5}$ när $(x,y) \neq (0,0)$ .
När punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$ får man olika resultat hos de partiella derivatorna; till exempel är
$f^{'}_{x}(x(r,\theta),y(r,\theta)) = \sin^3\theta$ oavsett vad $r$ är.
Detta betyder att $f^{'}_x(0,0)$ inte existerar och därmed kan inte funktionen $f$ vara differentierbar i punkten $(0,0)$ .
Om det vore så får jag det till att z = 2x+3y inte heller vore differentierbar.

Det får du väl inte? Om $z=f(x,y)=2x+3y$ så är $f_x=2$ och $f_y=3$ . Dessa är helt oberoende av vilken väg du väljer, det är alltid samma värde.

Albiki menade att avsaknad av beroende av r betydde något, så jag tog fram en annan sådan funktion.

Laguna skrev:
Albiki skrev:
Funktionens partiella derivator är
$f^{'}_{x}(x,y) = y^3(x^2+y^2)^{-1.5} \text{ och } f^{'}_y(x,y) = x^3(x^2+y^2)^{-1.5}$ när $(x,y) \neq (0,0)$ .
När punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$ får man olika resultat hos de partiella derivatorna; till exempel är
$f^{'}_{x}(x(r,\theta),y(r,\theta)) = \sin^3\theta$ oavsett vad $r$ är.
Detta betyder att $f^{'}_x(0,0)$ inte existerar och därmed kan inte funktionen $f$ vara differentierbar i punkten $(0,0)$ .
Om det vore så får jag det till att z = 2x+3y inte heller vore differentierbar.

Du måste lära dig att inte ta saker ur sitt sammanhang; du har fokuserat på "oavsett vad r är" och bortser helt från vad som står i resten av meningen. Hade du läst hela meningen så hade du sett att den partiella derivatans värde beror på i vilken riktning (det som jag kallar $\theta$ ) man närmar sig origo; detta är inte tillåtet för att gränsvärdet ska existera. Läs och begrunda.

Albiki skrev:
Laguna skrev:
Albiki skrev:
Funktionens partiella derivator är
$f^{'}_{x}(x,y) = y^3(x^2+y^2)^{-1.5} \text{ och } f^{'}_y(x,y) = x^3(x^2+y^2)^{-1.5}$ när $(x,y) \neq (0,0)$ .
När punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$ får man olika resultat hos de partiella derivatorna; till exempel är
$f^{'}_{x}(x(r,\theta),y(r,\theta)) = \sin^3\theta$ oavsett vad $r$ är.
Detta betyder att $f^{'}_x(0,0)$ inte existerar och därmed kan inte funktionen $f$ vara differentierbar i punkten $(0,0)$ .
Om det vore så får jag det till att z = 2x+3y inte heller vore differentierbar.
Du måste lära dig att inte ta saker ur sitt sammanhang;

Oförskämt.

Bortsett från det, om trådskaparen är nöjd med din utläggning är jag det också.

Svara

Visa senaste svar