Flervariabelanalys: olika sorters funktioner

Utan att vara särskilt insatt i det vanliga upplägget av en flervariabelanalyskurs så gissar jag att skalärfält är mer likt envariabelfallet (definitionsmängden är flerdimensionell, men målmängden är i alla fall endimensionell, till skillnad från vektorfält där även målmängden är flerdimensionell) och att man därför lättare får en intuition för det hela. Om man sedan har greppat ett skalärfält är det nog enklare börja tackla vektorfält.

Sidan du länkar till tycker jag har ett ganska bra upplägg avsett ordningen och det övergripande innehållet. Dock verkar allting väldigt ytligt.

Calculus av Adams är en utmärkt bok, den ger väl dig den överblick du behöver av en introduktion till flervariabelanalys? Eller letar du efter ett annat svar?

Det slutar inte på något vis vid vektorvärda funktioner i reella euklidiska rum. Du kan även studera tensorvärda funktioner, eller funktioner i krökta rum, eller funktionaler, etc... Någonstans måste man ju börja? Det skulle vara tämligen opedagogiskt att börja blanda in vektorvärda funktioner till någon som precis har lärt sig vad en partiell derivata är.

Alvin: ah, ja. Väldigt ytligt? Det låter inte bra. Är det några speciella saker du ser som saknas där?

Emmynoether: nja, jag förstår inte upplägget. För det första blandar den envariabel och flervariabel i samma bok. Sedan lite linjär algebra och R3 geometri och vektorvärda funktioner och kurvor. SEDAN kommer partiella derivator som eget kapitel vilken verkar rymma lite gott och blandat. I det avseendet tycker jag hemsidan jag länkade till är bättre, men inte helt tillfredställande.

Även inspelade versioner av flervar-kursen som ges av MIT verkar börja med linjär algebra. Föreläsaren frågade "who has learned about vectors?" (va?) och spenderade sedan 8 föreläsningar på linjär algebra och 3d geometri för att sedan komma till partiella derivator. Vad är det för upplägg de har utanför Sverige? 

Det slutar inte på något vis vid vektorvärda funktioner i reella euklidiska rum.

Mycket suktande.

Någonstans måste man ju börja?

Ja, och det med skalärfält då

Nja, man måste förstå syftet med kursen. Syftet är inte att utbilda blivande matematiker på djupet i matematisk analys, syftet är först och främst att ge blivande ingenjörer verktygen de behöver för framtida ingenjörsmässiga kurser. Dessutom finns det ytterligare kurser att ta för de elever som verkligen är intresserade av att fördjupa sin kunskap i matematik, eller som planerar att läsa en master i teoretisk matematik.

Ja jag förstår vad du skriver men var det svar på något specifikt jag skrev där? 

Får jag inte bli suktad av tensorvärda funktioner och funktioner i krökta rum för att jag är blivande ingenjör haha

Det bästa sättet att få en överblick över flervariabelanalysen är nog att kolla i en lärobok. Jag är inget stort fan av Calculus (lång, rörig bok med massa tråkiga övningsuppgifter, som dessutom ges ut i meninglösa nya upplagor hela tiden). Några alternativa referenser som jag hellre rekommenderar:

• Flerdimensionell analys av Månsson och Nordbäck.
• De tillhörande Youtube-föreläsningarna av Jonas Månsson.
• Khan Academy.
• Calculus Blue av Robert Ghrist. 
• Betterexplained.com och Mathinsight.org för alternativa (och ofta ganska djupa) infallsvinklar på ämnet.

Dessutom tycker jag det ligger mycket i upplägget som du har sett i en del källor, där man lär ut linjär algebra ihop med flervariabelanalysen, för det är verkligen två ämnen som går hand i hand. Behöver du någon extra referens för linalg så tycker jag Contemporary Linear Algebra av Anton och Busby, och Essence of Linear Algebra av 3blue1brown är bra ställen att börja.

När det gäller din mer specifika fråga om vilken typ av funktioner man studerar i flervariabeln, så tycker jag absolut att funktioner av typen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ är en bra början, eftersom man då isolerar en av de främsta svårigheterna med flervariablefunktioner jämfört med envariabelfunktioner, nämligen att det finns oändligt många riktningar som man kan derivera i (och beräkna andra typer av gränsvärden i). I envariabelanalysen kunde vi bara derivera längs med $x$-axeln, men nu har vi flera koordinataxlar som vi kan derivera längs med, samt alla riktningar därimellan!

I någon mening kan dessutom en mer generell funktion $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ses som uppbygd av $m$ stycken funktioner $f_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ [där $f_i$ erhålls genom att man helt enkelt enbart tittar på den $i$:te koordinaten i output-rummet, och ignorerar övriga koordinater], så att vi kan skriva

$\,{F(x_1,\ldots,x_n)}=\begin{pmatrix}f_1(x_1,\ldots,x_n)\\\vdots\\ f_m(x_1,\ldots,x_n)\end{pmatrix}\,.$

Har man väl förstått realvärda funktionerna, så har man följaktligen kommit en bra bit på vägen mot det generella fallet.

Man kan dock argumentera för att man lite missar poängen med vektorvärda funktioner när man tänker på det viset. Det kan därför vara en god idé att attackera ämnet flervariabelfunktioner från andra hållet också, och lägga lite tid på funktioner av typen $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^m$, för att få en känsla för vad det innebär att få vektorer som output, innan man på allvar ger sig på det generella fallet.

Ytterligare ett fall som man brukar studera särskillt noggrant är så kallade vektorfält, som är funktioner av typen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ (där både definitionsmängden och målmängden har samma dimension). Detta är nog dock inte främst av pedagogiska skäl, utan det handlar mer om att sådana funktioner ofta dyker upp i tillämpningar, och att det finns massa spännande matematik som är utvecklad särskilt för sådana funktioer (t.ex. olika varianter av Stokes sats, som är en väldigt vacker och spännande generalisering av analysens huvudsats).

oggih skrev:

Det bästa sättet att få en överblick över flervariabelanalysen är nog att kolla i en lärobok. Jag är inget stort fan av Calculus (lång, rörig bok med massa tråkiga övningsuppgifter, som dessutom ges ut i meninglösa nya upplagor hela tiden).

Tack, jag tycker samma. Jag tror den fungerar bättre med amerikanska universitets upplägg. 

Några alternativa referenser som jag hellre rekommenderar:

• Flerdimensionell analys av Månsson och Nordbäck.

Jag köpte just böiers bok i flervariabelanalys, vad tycker du om den?

• Khan Academy.

Jag gillar faktiskt inte khan academy så mycket, efter att ha kollat på 3blue1brown är ingen animation tillräckligt levande.

Dessutom tycker jag det ligger mycket i upplägget som du har sett i en del källor, där man lär ut linjär algebra ihop med flervariabelanalysen, för det är verkligen två ämnen som går hand i hand. Behöver du någon extra referens för linalg så tycker jag Contemporary Linear Algebra av Anton och Busby, och Essence of Linear Algebra av 3blue1brown är bra ställen att börja.

Men det är ju just det, varför antar man inte att man gått kurs i linalg innan flervariabelanalys? Ska man läsa den efter, eller finns ingen sådan kurs?

När det gäller din mer specifika fråga om vilken typ av funktioner man studerar i flervariabeln, så tycker jag absolut att funktioner av typen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ är en bra början, eftersom man då isolerar en av de främsta svårigheterna med flervariablefunktioner jämfört med envariabelfunktioner, nämligen att det finns oändligt många riktningar som man kan derivera i (och beräkna andra typer av gränsvärden i). I envariabelanalysen kunde vi bara derivera längs med $x$-axeln, men nu har vi flera koordinataxlar som vi kan derivera längs med, samt alla riktningar därimellan!

Eller längs en icke-rät kurva i i Rn? Jag råkar ha hört om kurvintegraler, så what about kurvderivator?

Qetsiyah skrev:

Jag köpte just böiers bok i flervariabelanalys, vad tycker du om den?

Har inte läst den, så har ingen uppfattning tyvärr.

Jag gillar faktiskt inte khan academy så mycket, efter att ha kollat på 3blue1brown är ingen animation tillräckligt levande.

Just klippen om flervariabelanalys på Khan Academy är faktiskt gjorda av samma person som ligger bakom 3blue1brown, så det finns nog goda möjligheter att du kommer gilla dem trots att de inte är animerade!

Men det är ju just det, varför antar man inte att man gått kurs i linalg innan flervariabelanalys? Ska man läsa den efter, eller finns ingen sådan kurs?

I Sverige (och på andra ställen också för den delen) är det nog vanligast att man påbörjar linalgen före flervariabelanalysen. Men att ha läst en första kurs i linalg är absolut inte det samma som att vara fullärd, så i praktiken blir det ofta så att man fortsätter utvecklas i sin förståelse av linjär algebra under stora delar av resten av ens utbildning. Eftersom flervariabelanalysen ofta läses direkt efter första linalg-kursen blir det naturligt att läromedlen där lägger lite extra fokus på att hjälpa studenterna repetera och bli bättre på linjär algebra.

Eller längs en icke-rät kurva i i Rn? Jag råkar ha hört om kurvintegraler, så what about kurvderivator?

Bra fråga! Förutsatt att funktionen och kurvan är tillräckligt "släta" så kommer det inte spela någon roll vilken kurva vi deriverar längs, utan det enda som spelar roll är vad den har för derivata i punkten som vi är intresserade av. Därför kan man i princip tänka sig att gränsvärdet vid deriveringen tas längs en rät linje. Mer precist menar jag följande: Låt $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ vara en slät funktion, och låt $\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ vara en slät kurva med $\gamma(0)=\mathbf{p}$ och $\gamma'(0)=\mathbf{v}$. Då är

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(\gamma(t))\vert_{t=0}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(\mathbf{p}+t\mathbf{v})\vert_{t=0}\,.$

Så för alla trevliga funktioner och kurvor har vi "bara" de oändligt många riktningarna mellan koordinataxlarna att bekymra oss om, och behöver alltså inte tänka på alla möjliga kurvor man kan röra sig längs med. Det är alltid något att trösta sig med när flervariabelanalysen känns svår...

Exakt hur mycket släthet som krävs för att detta ska fungera är jag inte säker på så här på rak arm. Om allt är oändligt deriverbart så borde det vara lugnt, men det är möjligt att typ differentierbarhet räcker. (Någon som är mindre ringrostig på analys än jag är har kanske bättre koll?) Om funktionen $f$ eller kurvan $\gamma$ är tillräckligt patologiska (t.ex. om $\gamma$ enbart är kontinuerlig) så kommer vi helt klart få problem, men å andra sidan är de fallen kanske inte sådär våldsamt intressanta eller användbara. Det är kanske något man kan fundera på om man får tråkigt någon dag i framtiden! ^_^

Personligen tycker jag detta överanalyseras lite grann just nu. Det är en enorm skillnad på att lära sig matematik för en blivande matematiker och lära sig matematik för en blivande ingenjör. Jag får uppfattningen av att trådskaparen skall bli ingenjör (?) och då behöver man lära sig matematik som ett verktyg.

Vill man förstå matematisk analys ur en matematikers perspektiv så skall man vända sig åt helt andra böcker, som exempelvis Rudins principles of mathematical analysis. Vill man förstå  vektorrum så räcker inte Anton och Busbys bok heller eftersom den ger (precis som alla andra linalg böcker för ingenjörer) illusionen av att vektorer är geometriska objekt som har någon storlek och riktning i någon n-dimensionell rymd. Det är ett begränsat sätt att föreställa sig vektorer, som oftast duger mer än väl för en ingenjör, men det ger inget direkt matematiskt djup. En matematiker vill alltid tänka så abstrakt som möjligt och addera så lite onödig information som möjligt. För en matematiker är en vektor ett element i ett vektorrum som uppfyller vektorrummets axiom, varken mer eller mindre. Lär man sig tänka på det sättet så blir det mycket enklare att senare förstå saker som oändligtdimensionella Hilbertrum (också vektorrum) och mycket mer avancerade saker.

Jag försöker inte röra till det här mer än nödvändigt nu (även om det kan verka som det), men jag får uppfattningen av att trådskaparen kommer läsa på KTH och KTH är ett universitet som först och främst utbildar ingenjörer. Om du vill tjuvstarta med dina studier så rekommenderar jag att du helt enkelt kollar upp vilken litteratur som gäller för kurserna du planerar att läsa och i alla fall börjar där. Varför man väljer ordning på kurserna som man gör har att göra med att det dels är en vettig tankegång, och dels så passar det ihop med andra kurser man läser parallellt. Linalg är bra att kunna innan man börjar med mekanik, osv.

emmynoether skrev:

Personligen tycker jag detta överanalyseras lite grann just nu. Det är en enorm skillnad på att lära sig matematik för en blivande matematiker och lära sig matematik för en blivande ingenjör. Jag får uppfattningen av att trådskaparen skall bli ingenjör (?) och då behöver man lära sig matematik som ett verktyg.

Förlåt, men vad du är tråkig! Får jag inte göra båda? :)

En matematiker vill alltid tänka så abstrakt som möjligt och addera så lite onödig information som möjligt.

Jaaaa!

För en matematiker är en vektor ett element i ett vektorrum som uppfyller vektorrummets axiom, varken mer eller mindre.

Ja

Varför man väljer ordning på kurserna som man gör har att göra med att det dels är en vettig tankegång, och dels så passar det ihop med andra kurser man läser parallellt. 

Jag har bara läst fyra kurser på KTH och jag måste säga att upplägget hittills har varit väldigt ogenomtänkt. (Först var det inledande kemi och biokemi, sedan envar och eukaryot cellbiologi. Kemi passar bättre med matte och cellbiologi borde komma före biokemi.)

Du får givetvis göra precis vad du vill :)

emmynoether skrev:

Du får givetvis göra precis vad du vill :)

Tack, då ska du minsann få se!