Flervariabelanalys: Negativt definit

I a antar du att 2 funktioner måste vara 0 om summan är det. Tänk om dem ena är -x och den andra x?

Ditt påstående i b stämmer inte, vilka konstanter du har påverkar om den är pos/neg definit eller inte.

Micimacko skrev:

I a antar du att 2 funktioner måste vara 0 om summan är det. Tänk om dem ena är -x och den andra x?

Ditt påstående i b stämmer inte, vilka konstanter du har påverkar om den är pos/neg definit eller inte.

Fast, nu är ju de funktionerna lika med 0 och inte nått annat så då bör rimligen summan av de också bli 0. Det är ju första derivatorna jag själv satt till 0 för att ta reda på kritiska punkter.

Gällande b) frågan. Ja nu när jag tänker efter behöver jag utveckla mitt påstående lite.

men om vi tänker oss (ax-by)^2 så kommer denna funktion anta positiva värden oavsett vad a och b är. Det är det som är min poäng men det är möjligt att det finns nått sätt att förklara det bättre än vad jag gjort. Dvs nu har alla termer konstanten 3 framför sig. Och ja hade jag bytt tecken så hade det blivit skillnad. Men givet att jag fortfarande har samma tecken på konstanten ser jag inte hur det inte skulle stämma. Men ja det bygger på att funktionen fortfarande kan kvadratkompletteras på formen (ax-by)^2.

Att du råkade få rätt i det här fallet betyder inte att metoderna fungerar. Tex 2x2 + 2xy + 2y2=x2+(x+y)2+y2  är pos definit, men x2+3xy+y2=(x+y)2+xy är tex neg i (1/2,-1/2) så den är indefinit, och x2+2xy+y2=(x+y)2 är 0 i tex (1,-1) så den är pos semidefinit.

Micimacko skrev:

Att du råkade få rätt i det här fallet betyder inte att metoderna fungerar. Tex 2x2 + 2xy + 2y2=x2+(x+y)2+y2  är pos definit, men x2+3xy+y2=(x+y)2+xy är tex neg i (1/2,-1/2) så den är indefinit, och x2+2xy+y2=(x+y)2 är 0 i tex (1,-1) så den är pos semidefinit.

Hmm okej jag får kika på det, eller bara använda hessematrisen som de gör. Kanske är smartare att alltid dubbelkolla med den om inte annat.
Men a) frågan då. Vi vet ju att fx=0 och fy=0. Summerar man de och löser när den nya ekvationen blir noll borde stämma?

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Jag föredrar också att kvadratkomplettera istället för att hitta egenvärden, gör det ordentligt bara.

Freedom hold skrev:

Bortsett från att facit skrivit lite fel på första raden i b), så undrar jag varför de valde $-3x^2-3y^2+3xy$ som term att undersöka? Jag använde taylorutveckling av andra ordning av f för att istället få fram de andragradstermerna $-6x^2+3xy-6y^2$ att undersöka. Verkar som om det skiljer sig ungefär med någon konstant, men lyckas ändå få fram samma svar till slut.

Jag antar att det beror på funktionen och att det i detta fall verkade som om de andragradstermerna var de "dominerande" termerna för små x runt origo, så därför kunde de bara välja dem termerna. Däremot antar jag att betrakta andragradstermerna av taylorutvecklingen inte heller är fel?

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

ipsum skrev:

Freedom hold skrev:

Bortsett från att facit skrivit lite fel på första raden i b), så undrar jag varför de valde $-3x^2-3y^2+3xy$ som term att undersöka? Jag använde taylorutveckling av andra ordning av f för att istället få fram de andragradstermerna $-6x^2+3xy-6y^2$ att undersöka. Verkar som om det skiljer sig ungefär med någon konstant, men lyckas ändå få fram samma svar till slut.

Jag antar att det beror på funktionen och att det i detta fall verkade som om de andragradstermerna var de "dominerande" termerna för små x runt origo, så därför kunde de bara välja dem termerna. Däremot antar jag att betrakta andragradstermerna av taylorutvecklingen inte heller är fel?

Jag tror inte att de har gjort fel i b). Det är funktionen som angivits i uppgiftslydelsen som de använt sig av. Man kan göra det för att ta reda på max/min som de gör.

ipsum skrev:

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

Fast de borde gå. Man bör få 4 olika punkter totalt sett. (0,0), (0,1),(1,0) och (1,1). sätter man in dessa punkter i första derivatorna får man att endast (0,0) och (1,1) som  kritiska punkter.

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Freedom hold skrev:

Bortsett från att facit skrivit lite fel på första raden i b), så undrar jag varför de valde $-3x^2-3y^2+3xy$ som term att undersöka? Jag använde taylorutveckling av andra ordning av f för att istället få fram de andragradstermerna $-6x^2+3xy-6y^2$ att undersöka. Verkar som om det skiljer sig ungefär med någon konstant, men lyckas ändå få fram samma svar till slut.

Jag antar att det beror på funktionen och att det i detta fall verkade som om de andragradstermerna var de "dominerande" termerna för små x runt origo, så därför kunde de bara välja dem termerna. Däremot antar jag att betrakta andragradstermerna av taylorutvecklingen inte heller är fel?

Jag tror inte att de har gjort fel i b). Det är funktionen som angivits i uppgiftslydelsen som de använt sig av. Man kan göra det för att ta reda på max/min som de gör.

Det är en småsak egentligen och ska inte påverka slutsatsen, men de skriver för $f(x,y)=x^3+y^3-3x^2-\mathbf{3y^3}+3xy$ när det ska stå $f(x,y)=x^3+y^3-3x^2-\mathbf{3y^2}+3xy$, de har alltså skrivit $-3y^3$ istället för $-3y^2$ där den senare ska vara den korrekta.

Därefter så skriver de att $-3x^2-y^2+3xy=-3((x+y/2)^2 + 3y^2/4)$ men $-3((x+y/2)^2 + 3y^2/4)=-3x^2-3y^2+3xy$, så därför får det mig att tro att de förmodligen på första raden av b) menade $f(x,y)=x^3+y^3-3x^2-\mathbf3\mathbf y^{\mathbf2}+3xy\approx-3x^2-\mathbf{3y^2}+3xy$.

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

Fast de borde gå. Man bör få 4 olika punkter totalt sett. (0,0), (0,1),(1,0) och (1,1). sätter man in dessa punkter i första derivatorna får man att endast (0,0) och (1,1) som  kritiska punkter.

Jo att addera råkade fungera nu, men min poäng är att jag hade kunnat subtrahera båda led istället då det också ska ge 0, vilket jag testade med och missade då (1,1) som rot. Det visar att det finns en risk med den metoden, att det är möjligt att missa riktiga rötter när man gör sådär, så man kan inte vara 100% på att det alltid fungerar för alla situationer. Facits lösning enligt mig är bättre då den arbetar på ett mer generellt sätt.

ipsum skrev:

Freedom hold skrev:

Visa föregående citat

ipsum skrev:

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

Fast de borde gå. Man bör få 4 olika punkter totalt sett. (0,0), (0,1),(1,0) och (1,1). sätter man in dessa punkter i första derivatorna får man att endast (0,0) och (1,1) som  kritiska punkter.

Jo att addera råkade fungera nu, men min poäng är att jag hade kunnat subtrahera båda led istället då det också ska ge 0, vilket jag testade med och missade då (1,1) som rot. Det visar att det finns en risk med den metoden, att det är möjligt att missa riktiga rötter när man gör sådär, så man kan inte vara 100% på att det alltid fungerar för alla situationer. Facits lösning enligt mig är bättre då den arbetar på ett mer generellt sätt.

Hmm ja det är sant. Finns det nån förklaring varför addition av derivatorna råkade funka samt att subtraktion inte fungerar. Jag tänker mig att det kan vara nått antagande man gör som inte nödvändigtvis är sant alltid men som råkade vara sant nu. men jag kommer inte på vad det skulle vara för antagande.

För när man adderar derivatorna så antar man att bara för att summan av derivatorna är 0 så måste även de enskilda funktionerna vara 0 också, vilket inte nödvändigtvis är sant, samma sak antar jag gäller för subtraktion. Men det de gör är att de sätter derivatorna lika med varandra, då vet man med säkerhet att de enskilda funktionerna också måste vara 0 samtidigt som summan av de är det. Däremot flyttar de ju över termer från den ena ekvationen till den andra, till ex flyttar de ju över y^2 till andra sidan för att få (x^2-y^2). Men det kanske inte påverkar.

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

Fast de borde gå. Man bör få 4 olika punkter totalt sett. (0,0), (0,1),(1,0) och (1,1). sätter man in dessa punkter i första derivatorna får man att endast (0,0) och (1,1) som  kritiska punkter.

Jo att addera råkade fungera nu, men min poäng är att jag hade kunnat subtrahera båda led istället då det också ska ge 0, vilket jag testade med och missade då (1,1) som rot. Det visar att det finns en risk med den metoden, att det är möjligt att missa riktiga rötter när man gör sådär, så man kan inte vara 100% på att det alltid fungerar för alla situationer. Facits lösning enligt mig är bättre då den arbetar på ett mer generellt sätt.

Hmm ja det är sant. Finns det nån förklaring varför addition av derivatorna råkade funka samt att subtraktion inte fungerar. Jag tänker mig att det kan vara nått antagande man gör som inte nödvändigtvis är sant alltid men som råkade vara sant nu. men jag kommer inte på vad det skulle vara för antagande.

För när man adderar derivatorna så antar man att bara för att summan av derivatorna är 0 så måste även de enskilda funktionerna vara 0 också, vilket inte nödvändigtvis är sant, samma sak antar jag gäller för subtraktion. Men det de gör är att de sätter derivatorna lika med varandra, då vet man med säkerhet att de enskilda funktionerna också måste vara 0 samtidigt som summan av de är det. Däremot flyttar de ju över termer från den ena ekvationen till den andra, till ex flyttar de ju över y^2 till andra sidan för att få (x^2-y^2). Men det kanske inte påverkar.

Ang antaganden man gör vet jag inte heller. Men jag tror att sättet man löser det på spelar roll, dvs kollar vi på fallet med addition där du hade $3x(x-1)+3y(y-1)=0$, att se med blotta ögat att x=0 eller x=1 och samma för y uppfyller ekvationen är inte hela sanningen. Wolfram visar att det finns flera lösningar t.ex $x=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, y=\frac{1}{2}$. Detta hade man inte sett om man bara löste det såsom du gjorde. Om du vill se hur den ser ut (en cirkel) kan du knappa in den i wolfram och lösningen är nog alla punkter som ligger på cirkeln.
Så poängen är att lösa det med blotta ögat på det sättet riskerar då att man tappar rötter, eftersom det är inte fullkomligt sätt att lösa det på. Jag ser nu att (1,1) är en rot till ekvationen jag fick fram med subtraktion, fast jag hade inte sett det utan att testa mig fram, ett större problem jag ser nu är att alla tal där x=y uppfyller min ekvation (alltså den ekvation man får fram om man skulle subtrahera istället), vilket betyder att jag måste kontrollera hela R^2 och det är inte görbart.

Jag tror att teorin relaterar lite till linjära ekvationssystem från linalgen, fast inte riktigt då detta är inte linjärt ekvationssystem. Adderar man ihop ekvationerna ändras lösningsmängden, så en lösning för båda ekvationerna måste finnas i den resulterande ekvationen om den finns i båda av ekvationerna, men den resulterande ekvationen kan ha nya lösningar (falska rötter) som inte finns i de 2 originella ekvationerna, och det är nog precis vad vi ser här. I mitt fall när jag subtraherade istället då gick det inte att kontrollera de falska rötterna då jag var tvungen att kontrollera hela R^2 där x=y. I ditt fall där du adderade blev en cirkel, där alla punkter på cirkeln är lösningen, vilket också är jobbigt att kontrollera.

Så kanske andemeningen är att det är inte klart på förhand vilken form ekvationen blir när man adderar eller subtraherar såhär och att ekvationen man får kan vara jobbig att kontrollera falska rötter på beroende på uppgiften.

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

Fast de borde gå. Man bör få 4 olika punkter totalt sett. (0,0), (0,1),(1,0) och (1,1). sätter man in dessa punkter i första derivatorna får man att endast (0,0) och (1,1) som  kritiska punkter.

Jo att addera råkade fungera nu, men min poäng är att jag hade kunnat subtrahera båda led istället då det också ska ge 0, vilket jag testade med och missade då (1,1) som rot. Det visar att det finns en risk med den metoden, att det är möjligt att missa riktiga rötter när man gör sådär, så man kan inte vara 100% på att det alltid fungerar för alla situationer. Facits lösning enligt mig är bättre då den arbetar på ett mer generellt sätt.

För när man adderar derivatorna så antar man att bara för att summan av derivatorna är 0 så måste även de enskilda funktionerna vara 0 också, vilket inte nödvändigtvis är sant, samma sak antar jag gäller för subtraktion. Men det de gör är att de sätter derivatorna lika med varandra, då vet man med säkerhet att de enskilda funktionerna också måste vara 0 samtidigt som summan av de är det. Däremot flyttar de ju över termer från den ena ekvationen till den andra, till ex flyttar de ju över y^2 till andra sidan för att få (x^2-y^2). Men det kanske inte påverkar.

Facits sätt har inte ändrat på lösningsmängden. Det här med att flytta runt termerna görs genom att balansera båda led.
$x^2-2x+y+\mathbf{(-y^2+2x-y)}=y^2-2y+x+\mathbf{(-y^2+2x-y)} \implies x^2-y^2=3x-3y$, dvs man har subtraherat båda led med $y^2$, adderat båda led med $2x$ och sedan subtraherat båda led med $y$, så lösningsmängden har inte ändrats.

Bara för att illustrera enkla idén med att balansera led:
$x+5=0 \implies x+5+\mathbf{10^{100000}}=\mathbf{10^{100000}} \implies x=-5$, här blir x fortfarande -5, så länge man balanserar båda led på det här sättet så kommer lösningsmängden att vara oförändrad.

ipsum skrev:

Freedom hold skrev:

Visa föregående citat

ipsum skrev:

Freedom hold skrev:

Visa föregående citat

ipsum skrev:

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

Fast de borde gå. Man bör få 4 olika punkter totalt sett. (0,0), (0,1),(1,0) och (1,1). sätter man in dessa punkter i första derivatorna får man att endast (0,0) och (1,1) som  kritiska punkter.

Jo att addera råkade fungera nu, men min poäng är att jag hade kunnat subtrahera båda led istället då det också ska ge 0, vilket jag testade med och missade då (1,1) som rot. Det visar att det finns en risk med den metoden, att det är möjligt att missa riktiga rötter när man gör sådär, så man kan inte vara 100% på att det alltid fungerar för alla situationer. Facits lösning enligt mig är bättre då den arbetar på ett mer generellt sätt.

För när man adderar derivatorna så antar man att bara för att summan av derivatorna är 0 så måste även de enskilda funktionerna vara 0 också, vilket inte nödvändigtvis är sant, samma sak antar jag gäller för subtraktion. Men det de gör är att de sätter derivatorna lika med varandra, då vet man med säkerhet att de enskilda funktionerna också måste vara 0 samtidigt som summan av de är det. Däremot flyttar de ju över termer från den ena ekvationen till den andra, till ex flyttar de ju över y^2 till andra sidan för att få (x^2-y^2). Men det kanske inte påverkar.

Facits sätt har inte ändrat på lösningsmängden. Det här med att flytta runt termerna görs genom att balansera båda led.
$x^2-2x+y+\mathbf{(-y^2+2x-y)}=y^2-2y+x+\mathbf{(-y^2+2x-y)} \implies x^2-y^2=3x-3y$, dvs man har subtraherat båda led med $y^2$, adderat båda led med $2x$ och sedan subtraherat båda led med $y$, så lösningsmängden har inte ändrats.

Bara för att illustrera enkla idén med att balansera led:
$x+5=0 \implies x+5+\mathbf{10^{100000}}=\mathbf{10^{100000}} \implies x=-5$, här blir x fortfarande -5, så länge man balanserar båda led på det här sättet så kommer lösningsmängden att vara oförändrad.

Ja jo, Men när du subtraherar den ena ekvationen med den andra kan man ju argumentera du balanserar båda led också.

 $$\begin{gathered} 3x^2-6x+3y=3y^2-6y+3x \\ Subtrahera båda led med (3y^2-6y+3x) \\ ->3x^2-6x+3y-(3y^2-6y+3x)=0 \\ 3x^2-3y^2-9x+9y=0 \\ {x}^2-y^2-3x+3y=0 \\ x(x-3)-y(y-3)=0 \\ (0,0), (0,3), (3,0),(3,3) är lösningar. \end{gathered}$$

Men det kanske är annorlunda om man flyttar över hela ekvationen snarare än delar av den?

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Freedom hold skrev:

ipsum skrev:

Visa föregående citat

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

Fast de borde gå. Man bör få 4 olika punkter totalt sett. (0,0), (0,1),(1,0) och (1,1). sätter man in dessa punkter i första derivatorna får man att endast (0,0) och (1,1) som  kritiska punkter.

Jo att addera råkade fungera nu, men min poäng är att jag hade kunnat subtrahera båda led istället då det också ska ge 0, vilket jag testade med och missade då (1,1) som rot. Det visar att det finns en risk med den metoden, att det är möjligt att missa riktiga rötter när man gör sådär, så man kan inte vara 100% på att det alltid fungerar för alla situationer. Facits lösning enligt mig är bättre då den arbetar på ett mer generellt sätt.

För när man adderar derivatorna så antar man att bara för att summan av derivatorna är 0 så måste även de enskilda funktionerna vara 0 också, vilket inte nödvändigtvis är sant, samma sak antar jag gäller för subtraktion. Men det de gör är att de sätter derivatorna lika med varandra, då vet man med säkerhet att de enskilda funktionerna också måste vara 0 samtidigt som summan av de är det. Däremot flyttar de ju över termer från den ena ekvationen till den andra, till ex flyttar de ju över y^2 till andra sidan för att få (x^2-y^2). Men det kanske inte påverkar.

Facits sätt har inte ändrat på lösningsmängden. Det här med att flytta runt termerna görs genom att balansera båda led.
$x^2-2x+y+\mathbf{(-y^2+2x-y)}=y^2-2y+x+\mathbf{(-y^2+2x-y)} \implies x^2-y^2=3x-3y$, dvs man har subtraherat båda led med $y^2$, adderat båda led med $2x$ och sedan subtraherat båda led med $y$, så lösningsmängden har inte ändrats.

Bara för att illustrera enkla idén med att balansera led:
$x+5=0 \implies x+5+\mathbf{10^{100000}}=\mathbf{10^{100000}} \implies x=-5$, här blir x fortfarande -5, så länge man balanserar båda led på det här sättet så kommer lösningsmängden att vara oförändrad.

Ja jo, Men när du subtraherar den ena ekvationen med den andra kan man ju argumentera du balanserar båda led också.

 $$\begin{gathered} 3x^2-6x+3y=3y^2-6y+3x \\ Subtrahera båda led med (3y^2-6y+3x) \\ ->3x^2-6x+3y-(3y^2-6y+3x)=0 \\ 3x^2-3y^2-9x+9y=0 \\ {x}^2-y^2-3x+3y=0 \\ x(x-3)-y(y-3)=0 \\ (0,0), (0,3), (3,0),(3,3) är lösningar. \end{gathered}$$

Men det kanske är annorlunda om man flyttar över hela ekvationen snarare än delar av den?

Du har faktiskt rätt ang balanseringen, men insåg att det inte är riktigt där skon klämmer. Dessutom så är $(x=y)\in R^2$ också möjliga lösningar till den ekvationen, s.a man får falska rötter över hela $R^2$ som måste kontrolleras, vilket inte är görbart. Du kan se det bara genom att testa vilka tal som helst där $x=y$, t.ex $x=10,y=10$, så ser du att ekvationen också uppfylls.

Jag insåg att det råder inte ekvivalens när man går från ekvationssystemet till att likställa ekvationerna i ekvationsystemet med varandra. Dvs
$\begin{array}{rcl}x^2-2x+y& =& 0\\ y^2-2y+x& =& 0\end{array}\Rightarrow x^2-2x+y=y^2-2y+x$ (3)

Så lösningar till ekvationssystemet är lösningar till den implicerade likheten som jag kallar för (3), men inte tvärtom. Dvs lösningsmängden innehåller de korreka lösningarna men har också utökats med falska rötter som uppfyller (3) men som inte uppfyller ekvationssytemet, vilket är det vi sett. Och rent intuitivt kan man se detta genom att inse att (3) behöver bara uppfylla punkter som gör att dem blir lika, dvs man kan få värden på ekvationerna som inte är 0, men som uppfyller likheten. Sen att bara balansera ekvationen genom att flytta runt dem som de gjort i facit eller såsom vi gjort när vi subtraherar ändrar inte på lösningsmängden, men saken är att lösningsmängden ändrades redan när man satte dem lika med varandra.

Ett enkelt exempel för att förstå varför lösningsmängden ändras när man adderar/subtraherar/sätter dem lika:
På bilden ser man att man får olika linjer då jämfört med de originella räta linjerna. Men de nya linjerna innehåller ändå de korrekta rötterna, förutom att de utökats med massa falska rötter också som måste kontrolleras. I detta fall så intersektar dem i origo, vilket är lösningen för ekvationssystemet. Men de nya räta linjerna har ju massa andra punkter som inte intersektar med de räta linjerna (1) och (2), så de har andra lösningsmängder också.

Poängen är att sättet du löser med addition ger upphov till en cirkel inte centrerat kring origo förskjuten på ett visst sätt längs x och y tror jag (kolla wolfram) och alla lösningar till din ekvation kommer ligga på cirkeln, vilket är jobbigt att kontrollera falska rötter på. Den jag hade med subtraktion är ännu värre då det blir hela $R^2$ som måste kontrolleras, vilket inte är görbart. 
Facit däremot hade ett effektivt sätt att göra det på. Trots att de också har annan lösningsmängd (men som innehåller korrekta rötter + massa falska rötter), så skriver de på ett sätt att de behöver bara kontrollera för 2 fall, $x =/= y$ som de kommer fram till har inga lösningar och detta gäller då för alla $(x,y)\in R^2$ och $x=y$ vilket är enkelt att checka.

ipsum skrev:

Freedom hold skrev:

Visa föregående citat

ipsum skrev:

Freedom hold skrev:

Visa föregående citat

ipsum skrev:

Freedom hold skrev:

Visa föregående citat

ipsum skrev:

Micimacko skrev:

Det funkar åt ena hållet, men du får för många punkter. Även tex (0,1) är ett 0-ställe till summan men inte var och en.

Betyder det att man kan antingen subtrahera båda led eller summera såsom TS gör, men att man sedan måste kontrollera punkterna i de originella ekvationerna för att se om de inte är "falska rötter"? Det kan väl inte hända att de riktiga rötterna försvinner när man gör på det sättet, bara att det kan tillkomma falska rötter som måste kontrolleras? Eller ligger problemet i att risken är att man kanske missar några riktiga rötter när man gör på det sättet? 

För i så fall kan jag förstå facits lösning, där de arbetar lite mer generellt genom att skriva om ekvationen med konjuagregeln och flytta om termerna s.a de kan betrakta fallet $x=/=y$ och därefter $x=y$.

Edit:
Testade med att subtrahera båda led istället och får då $(0,0),(0,3)(3,0),(3,3)$, men då missar man (1,1) som rot. Så det stämmer nog att risken är att man kan missa riktiga rötter. 

Fast de borde gå. Man bör få 4 olika punkter totalt sett. (0,0), (0,1),(1,0) och (1,1). sätter man in dessa punkter i första derivatorna får man att endast (0,0) och (1,1) som  kritiska punkter.

Jo att addera råkade fungera nu, men min poäng är att jag hade kunnat subtrahera båda led istället då det också ska ge 0, vilket jag testade med och missade då (1,1) som rot. Det visar att det finns en risk med den metoden, att det är möjligt att missa riktiga rötter när man gör sådär, så man kan inte vara 100% på att det alltid fungerar för alla situationer. Facits lösning enligt mig är bättre då den arbetar på ett mer generellt sätt.

För när man adderar derivatorna så antar man att bara för att summan av derivatorna är 0 så måste även de enskilda funktionerna vara 0 också, vilket inte nödvändigtvis är sant, samma sak antar jag gäller för subtraktion. Men det de gör är att de sätter derivatorna lika med varandra, då vet man med säkerhet att de enskilda funktionerna också måste vara 0 samtidigt som summan av de är det. Däremot flyttar de ju över termer från den ena ekvationen till den andra, till ex flyttar de ju över y^2 till andra sidan för att få (x^2-y^2). Men det kanske inte påverkar.

Facits sätt har inte ändrat på lösningsmängden. Det här med att flytta runt termerna görs genom att balansera båda led.
$x^2-2x+y+\mathbf{(-y^2+2x-y)}=y^2-2y+x+\mathbf{(-y^2+2x-y)} \implies x^2-y^2=3x-3y$, dvs man har subtraherat båda led med $y^2$, adderat båda led med $2x$ och sedan subtraherat båda led med $y$, så lösningsmängden har inte ändrats.

Bara för att illustrera enkla idén med att balansera led:
$x+5=0 \implies x+5+\mathbf{10^{100000}}=\mathbf{10^{100000}} \implies x=-5$, här blir x fortfarande -5, så länge man balanserar båda led på det här sättet så kommer lösningsmängden att vara oförändrad.

Ja jo, Men när du subtraherar den ena ekvationen med den andra kan man ju argumentera du balanserar båda led också.

 $$\begin{gathered} 3x^2-6x+3y=3y^2-6y+3x \\ Subtrahera båda led med (3y^2-6y+3x) \\ ->3x^2-6x+3y-(3y^2-6y+3x)=0 \\ 3x^2-3y^2-9x+9y=0 \\ {x}^2-y^2-3x+3y=0 \\ x(x-3)-y(y-3)=0 \\ (0,0), (0,3), (3,0),(3,3) är lösningar. \end{gathered}$$

Men det kanske är annorlunda om man flyttar över hela ekvationen snarare än delar av den?

Du har faktiskt rätt ang balanseringen, men insåg att det inte är riktigt där skon klämmer. Dessutom så är $(x=y)\in R^2$ också möjliga lösningar till den ekvationen, s.a man får falska rötter över hela $R^2$ som måste kontrolleras, vilket inte är görbart. Du kan se det bara genom att testa vilka tal som helst där $x=y$, t.ex $x=10,y=10$, så ser du att ekvationen också uppfylls.

Jag insåg att det råder inte ekvivalens när man går från ekvationssystemet till att likställa ekvationerna i ekvationsystemet med varandra. Dvs
$\begin{array}{rcl}x^2-2x+y& =& 0\\ y^2-2y+x& =& 0\end{array}\Rightarrow x^2-2x+y=y^2-2y+x$ (3)

Så lösningar till ekvationssystemet är lösningar till den implicerade likheten som jag kallar för (3), men inte tvärtom. Dvs lösningsmängden innehåller de korreka lösningarna men har också utökats med falska rötter som uppfyller (3) men som inte uppfyller ekvationssytemet, vilket är det vi sett. Och rent intuitivt kan man se detta genom att inse att (3) behöver bara uppfylla punkter som gör att dem blir lika, dvs man kan få värden på ekvationerna som inte är 0, men som uppfyller likheten. Sen att bara balansera ekvationen genom att flytta runt dem som de gjort i facit eller såsom vi gjort när vi subtraherar ändrar inte på lösningsmängden, men saken är att lösningsmängden ändrades redan när man satte dem lika med varandra.

Ett enkelt exempel för att förstå varför lösningsmängden ändras när man adderar/subtraherar/sätter dem lika:
På bilden ser man att man får olika linjer då jämfört med de originella räta linjerna. Men de nya linjerna innehåller ändå de korrekta rötterna, förutom att de utökats med massa falska rötter också som måste kontrolleras. I detta fall så intersektar dem i origo, vilket är lösningen för ekvationssystemet. Men de nya räta linjerna har ju massa andra punkter som inte intersektar med de räta linjerna (1) och (2), så de har andra lösningsmängder också.

Poängen är att sättet du löser med addition ger upphov till en cirkel inte centrerat kring origo förskjuten på ett visst sätt längs x och y tror jag (kolla wolfram) och alla lösningar till din ekvation kommer ligga på cirkeln, vilket är jobbigt att kontrollera falska rötter på. Den jag hade med subtraktion är ännu värre då det blir hela $R^2$ som måste kontrolleras, vilket inte är görbart. 
Facit däremot hade ett effektivt sätt att göra det på. Trots att de också har annan lösningsmängd (men som innehåller korrekta rötter + massa falska rötter), så skriver de på ett sätt att de behöver bara kontrollera för 2 fall, $x =/= y$ som de kommer fram till har inga lösningar och detta gäller då för alla $(x,y)\in R^2$ och $x=y$ vilket är enkelt att checka.

Ahh jag fattar. Så deras lösningsmängd ändras också, men de visar att för alla lösningar där $x=/=y$så kommer svaret aldrig bli lika med 0 och därmed är dessa punkter ointressanta.

Exakt!