Flervariabelanalys: nablatecknet står helt ensamt?

Det är en operation på F. $\nabla xF$ kallas rotationen av F, även rotF, eller curlF används.

Jaha okej, jag trodde att den stod ensam. 

Det där x:et har du skrivit fel eller?

Det finns faktiskt lite symbolik i de här skrivsätten för operatorerna.

Du är säkert bekant med att nablasymbolen kan användas för att beteckna gradienten $\nabla U$ av ett skalärfält $U$. Om vi tänker oss att $\nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z)$ kan vi  se $\nabla U$ som en skalärmultiplikation av vektorn $\nabla$ med $U$ för att få $\nabla U=(\partial U/\partial x,\partial U/\partial y,\partial U/\partial z)$.

Man använder även nablasymbolen för att beteckna rotationen $\nabla\times\mathbf{F}$ av ett vektorfält $\mathbf{F}=(\mathbf{F}_x,\mathbf{F}_y,\mathbf{F}_z)$. Rotationen definieras som

$\nabla\times\mathbf{F}=(\dfrac{\partial \mathbf{F}_z}{\partial y}-\dfrac{\partial \mathbf{F}_y}{\partial z},\dfrac{\partial \mathbf{F}_x}{\partial z}-\dfrac{\partial \mathbf{F}_z}{\partial x},\dfrac{\partial \mathbf{F}_y}{\partial x}-\dfrac{\partial \mathbf{F}_x}{\partial y})$

Och observera att detta är samma sak som vi får om vi tar kryssprodukten av vektorerna $\nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z)$ och $\mathbf{F}=(\mathbf{F}_x,\mathbf{F}_y,\mathbf{F}_z)$.

Ytterligare en operator är divergensen $\nabla\cdot\mathbf{F}$ av ett vektorfält $\mathbf{F}=(\mathbf{F}_x,\mathbf{F}_y,\mathbf{F}_z)$. Om du tolkar pricken som en skalärprodukt bör du nästan kunna gissa dig till hur divergensen definieras.

Det finns ett litet men i det hela, och det är att $\nabla$ är en vektor som inte har tal som komponenter, utan "derivatan av" som komponenter. Man kallar det för att komponenterna $\partial/\partial x$ är operatorer, och när man multiplicerar något med operatorn applicerar man operatorn på detta. Detta skrivsätt är ganska användbart, och dyker upp på flera ställen i matematiken. Ett annat ställe är vid lösning av högre ordningens differentialekvationer.

Åh!!

Nice, jag förstod allt