Flervariabelanalys: lim(x, y)->(0,0) sin(xy)/xy=1 wow!

Ja, du kan ju sätta $t=xy$ och transformera det hela till ett envariabelgränsvärde:

$\lim_{t\to0}\dfrac{\sin(t)}{t}$

Åh, åh. Kan man alltid göra en sån substitution (varför kallar du det transformation?) för att få ett gränsvärde man känner igen i en variabel?

Qetsiyah skrev:

Åh, åh. Kan man alltid göra en sån substitution (varför kallar du det transformation?) för att få ett gränsvärde man känner igen i en variabel?

Det kallas transformation eftersom man gör om en funktion av två variabler till en funktion av bara en enda variabel.

Det finns i alla fall en massa tillfällen när det är mycket svårare än så här att hitta en vettig och användbar transformation.

Två saker som skulle kunna göra att $\textstyle\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin(xy)}{xy}=1$ känns lite mindre förvånande:

(1) Föreställ dig grafen till $\,{f(x,y)}=\frac{\sin(xy)}{xy}$ (eller låt Wolfram Alpha plotta den åt dig).

(2) Taylorutveckla! För små $t\in\mathbb{R}$ bör man alltid ha någonstans i bakhuvudet att $\sin(t)\approx t$. Mer precist gäller $\,{\sin(t)}=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\ldots$ Stoppa in $t=xy$, och se vad som händer med gränsvärdet.

Jo, jag gjorde 1) och märkte genast att appen redan hade markerat ett hål åt mig där, sedan insåg jag vad för funktion jag faktiskt hade skrivit in. 

Kan man ta en envariabelfunktion och transformera den baklänges så det står xy istället för x? Typ: f: x->1/x blir g: xy->1/xy