10 svar
327 visningar
åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 14:54

Flervariabelanalys- Laplace equation

Vad innebär Laplace equation?

Uppgift 11 . Jag ska visa att funktionen är harmonisk. Hur gör jag det? 

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 14:57 Redigerad: 5 feb 2018 14:58

Så du ska visa att 2zx2+2zy2=0 \dfrac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}=0 .

Guggle 1364
Postad: 5 feb 2018 15:06

En funktion f som uppfyller Laplace ekvation 2f=2fx2+2fy2=0 \nabla^2f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0 i ett område D är harmonisk i D.

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 15:06

Okej, men hur går jag tillväga för att visa det? 

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 15:07

Eller jaha, räknar ut dom separat och skriver som du skrev ovan med dessa uträknade? 
Är det bara det som Laplace equation innebär? 

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 15:08

Tillägg: Det kan också skrivas som Δf=2f=0 \Delta f=\nabla^2f=0 .

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 15:09
åsbergfanny skrev :

Eller jaha, räknar ut dom separat och skriver som du skrev ovan med dessa uträknade? 
Är det bara det som Laplace equation innebär? 

 

Ja. Laplace equation är att Δf=0 \Delta f=0 . I ditt fall betyder det att du ska derivera för varje variabel, addera och få noll. Annars är den inte harmonisk.

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 15:17

Okej, men som uppgiften ovan jag får de båda till att bli samma sak och därigenom att den inte ska vara harmonisk stämmer det då? (Facit saknas till den här uppgiften) 

woozah 1414 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 15:17
åsbergfanny skrev :

Okej, men som uppgiften ovan jag får de båda till att bli samma sak och därigenom att den inte ska vara harmonisk stämmer det då? (Facit saknas till den här uppgiften) 

 

Nä, det stämmer inte. Den bör vara noll.

 

:)

åsbergfanny 168 – Fd. Medlem
Postad: 5 feb 2018 15:28

Kan du visa hur man beräknar då? 

Guggle 1364
Postad: 5 feb 2018 15:31 Redigerad: 5 feb 2018 15:53

Eftersom f=ln(x2+y2) f=\ln(x^2+y^2) kan skrivas som f(r)=ln(r2) f(r)=\ln (r^2) i polära koordinater och din funktion saknar vinkelberoende reduceras differentialoperatorn på f till

2f(r)=1rf(r)r+2f(r)r2=2r2-2r2=0  r0 \nabla^2f(r)=\frac{1}{r}\frac{\partial f(r)}{\partial r}+\frac{\partial^2 f(r)}{\partial r^2}=\frac{2}{r^2}-\frac{2}{r^2}=0\quad r\neq 0

Edit: skulle visst vara r², fixat!

Svara
Close