Flervariabelanalys- Laplace equation

Så du ska visa att $\dfrac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}=0$.

En funktion f som uppfyller Laplace ekvation $\nabla^2f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$ i ett område D är harmonisk i D.

Okej, men hur går jag tillväga för att visa det? 

Eller jaha, räknar ut dom separat och skriver som du skrev ovan med dessa uträknade? 
Är det bara det som Laplace equation innebär? 

Tillägg: Det kan också skrivas som $\Delta f=\nabla^2f=0$.

åsbergfanny skrev :

Eller jaha, räknar ut dom separat och skriver som du skrev ovan med dessa uträknade? 
Är det bara det som Laplace equation innebär? 

Ja. Laplace equation är att $\Delta f=0$. I ditt fall betyder det att du ska derivera för varje variabel, addera och få noll. Annars är den inte harmonisk.

Okej, men som uppgiften ovan jag får de båda till att bli samma sak och därigenom att den inte ska vara harmonisk stämmer det då? (Facit saknas till den här uppgiften) 

åsbergfanny skrev :

Okej, men som uppgiften ovan jag får de båda till att bli samma sak och därigenom att den inte ska vara harmonisk stämmer det då? (Facit saknas till den här uppgiften) 

Nä, det stämmer inte. Den bör vara noll.

:)

Kan du visa hur man beräknar då? 

Eftersom $f=\ln(x^2+y^2)$ kan skrivas som $f(r)=\ln (r^2)$ i polära koordinater och din funktion saknar vinkelberoende reduceras differentialoperatorn på f till

$\nabla^2f(r)=\frac{1}{r}\frac{\partial f(r)}{\partial r}+\frac{\partial^2 f(r)}{\partial r^2}=\frac{2}{r^2}-\frac{2}{r^2}=0\quad r\neq 0$

Edit: skulle visst vara r², fixat!