Flervariabelanalys: inre rand och yttre punkter, vadå öppna klot?

Öppna och stänga bollar är inget annat än en generalisering av öppna och stängda intervall. Det blir än väldig skillnad om du skall försöka bevisa något (t ex konvergens eller gränsvärde) nära en singularitet eller rand. 

En kub är inte symmetrisk, avstånden till hörnen är inte långa som till kanterna. Detta är ett problem om du vill krympa bollen oändligt, tex vid gränsvärdesberäkningar.

Bra fråga! Jag håller med om att pratet om klot (eller bollar eller vad man nu vill kalla det) i analysen i någon mening är lite godtyckligt. Begreppen inre punkt, yttre punkt och randpunkt (och en del andra topologiska begrepp såsom kontinuitet och gränsvärden) skulle till exempel lika väl kunna formuleras mer generellt i termer av öppna omgivnningar. 

Låt oss ta begreppet 'randpunkt' som exempel. Din bok skriver säker något i stil med följande:

En randpunkt till en delmängd $S\subseteq\mathbb{R}^n$ är en punkt $x\in \mathbb{R}^n$ sådan att för varje $r>0$  så gäller $B_r(x)\cap S\neq\varnothing$ och $B_r(x)\cap(\mathbb{R}^n\setminus S)\neq\varnothing$.

vilket kan uttryckas som att varje boll (hur liten man än gör den!) runt en randpunkt skär både mängden och mängdens komplement.

Men vi skulle lika gärna kunna säga följande:

En randpunkt till en delmängd $S\subseteq\mathbb{R}^n$ är en punkt $p\in \mathbb{R}^n$ sådan att för varje öppen mägnd $U\subseteq \mathbb{R}^n$ med $p\in U$ gäller att $U\cap S\neq\varnothing$ och $U\cap(\mathbb{R}^n\setminus S)\neq\varnothing$.

vilket kan uttryckas som att varje öppen omgivning (av godtycklig form och storlek!) runt en randpunkt skär både mägnden och mängdens komplement.

När man jobbar med $\mathbb{R}^n$ så är båda de här två definitionerna är ekvivalenta med varandra, eftersom varje öppen mängd i $\mathbb{R}^n$ kan uttryckas som en union av öppna bollar.

Övningsuppgift: Prova gärna som övning att visa att en punkt är en randpunkt enligt 'bolldefinitionen' om och endast om det är en randpunkt enligt 'omgivningsdefinitionen'.

Vilken definition man väljer är därmed mest en smaksak - åtminstone i det här fallet!

Fördelen med att undvika att hänvisa till bollar i definitionen är att definitionen då blir mer generell, om man skulle vilja jobba i något annat universum än $\mathbb{R}^n$ (vilket man ofta vill!).

Definitionen baserad på bollar kräver att man har tillgång till ett avståndsbegrepp (så att begreppet radie makear sense), och används därföra bara i så kallade metriska rum.

Definitionen baserad på omgivningar kräver å andra sidan enbart att vi har bestämt vilka delmängder som ska vara öppna, och fungerar därför i alla topologiska rum.

Låt oss slutligen säga några ord om det här med kuber. Det är en relevant fråga eftersom öppna n-dimensionella kuber mycket väl skulle kunna ses som en precis lika naturlig  generalisering av öppna intervall till flera dimensioner som öppna bollar är.

Och det det fungerar, så vitt jag kan se, utmärkt att definiera den typen av topologiska begrepp som du nämner i ursprungsinlägget i termer av öppna kuber. Precis som i fallet med de öppna bollarna kokar detta ner till att man kan visa att en delmängd av $\mathbb{R}^n$ är öppen om och endast om den är en union av öppna kuber (prova gärna att göra detta!).

Observera dock att detta ger oss en än mer begränsad definition, eftersom det inte direkt finns något vettigt sätt att att definiera en 'öppen kub' varesig i ett allmänt metriskt eller ett allmänt topologiskt rum.

En naturlig följdfråga är om det finns andra typer av specialfall av öppna mängder som går att använda som 'testmängder' när man definierar saker som exempelvis randen till en mängd? Och visst finns det det! Bara för att dra till med ännu ett exempel skulle öppna n-dimensionella 'lådor' också fungera utmärkt när man jobbar med $\mathbb{R}^n$! Det som krävs är att 'testmängderna' bilar en så kallad bas för de öppna mängderna i det topologiska rum vi jobbar med.

Sidenote: Något jag för egen del lärde mig rätt nyligen är att vi, när vi jobbar med $\mathbb{R}^n$, faktiskt kan begränsa oss till bollar på formen $B_r(x)$ där $x\in\mathbb{Q}^n$ och $r\in\mathbb{Q}^+$. Då kommer vi undan med ett uppräkneligt antal 'testmängder', vilket visar sig vara väldigt användbart i vissa topologiska och differentialgeometriska sammanhang.

emmynoether skrev:

En kub är inte symmetrisk, avstånden till hörnen är inte långa som till kanterna. Detta är ett problem om du vill krympa bollen oändligt, tex vid gränsvärdesberäkningar.

Hm, har du något exempel på detta? Jag ser spontant inget principiellt problem med att använda öppna kuber i stället för öppna bollar i det här sammanhanget, men jag kan mycket väl missa något!

Ledsen att jag spammar tråden, men om jobbar med $\mathbb{R}^n$ så är öppna kuber faktiskt öppna bollar - om vi använder den så kallade max-normen för att mäta avstånd.

Medan den vanliga euklidiska normen $\Vert \cdot \Vert$ ges av

$\,{\Vert x \Vert}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\,,$

så är max-normen $\Vert \cdot \Vert_\infty$ definierad av

$\,{\Vert x\Vert}_\infty =\max \{|x_1|,\ldots,|x_n|\}\,.$

En övning till TS skulle kunna vara att överyga sig om att 

$B_d^\infty(x)=\{y\in\mathbb{R}^n:\Vert y-x\Vert_\infty<d\}$

blir en öppen kub med sidlängd $2d$.

Jag kan inte ge ett konkret exempel på att det inte fungerar, men jag skulle gärna vilja se hur man använder sig av fyrkanter istället för sfärer.  Låt oss bara titta på hur man definierar detta för metriska rum:

Ett metriskt rum är per definition en mängd $X$ där det för varje kombination av $x$ och $y$ i $X$ finns ett tal $d(x,y)$, som vi kallar avståndet, sådant att:
(i) $d(x,y)>0$ om $x \neq y$, $d(x,x) = 0$
(ii) $d(x,y)=d(y,x)$
(iii) $d(x,y) \leq d(x,r) + d(y,r)$ för alla $r \in X$

I ett euklidiskt rum ges avståndet som bekant av $d(x,y)=|\bf{x}-\bf{y}|$. En epsilonboll kring en punkt $x_0$ definieras då (i godtycklig dimension) som mängden av $x$ som uppfyller $d(x,x_0)=|\bf{x}-\bf{x_0}|<\epsilon$. Allting som involverar en epsilonboll är baserat på detta.

Om du istället vill bygga upp ett ramverk med kuber, hur skulle då gå tillväga? Hur gör du i dimensioner högre än 3?

EDIT: Vet inte varför latexen inte funkar, det är inget fel med min kod. (fixade det)

Om du använder maxnormen så är kuben inte en kub längre, då är den just en boll som du definierar att ha radien som avståndet till från kubens centrum till  kubens hörn. Då är vi tillbaka till epsilonbollar och inte kuber.

oggih skrev:

En övning till TS skulle kunna vara att överyga sig om att 

$B_d^\infty(x)=\{y\in\mathbb{R}^n:\Vert y-x\Vert_\infty<d\}$

blir en öppen kub med sidlängd $2d$.

Hur menar du här? En kub är ett geometriskt objekt, hur definierar du en kub i $\mathbb{R}^n$?

Den mängd du skrev behöver inte vara en "kub". Det är vilket geometriskt objekt som helst som precis ryms i en sfär med radien $d$.

emmynoether skrev:

Om du använder maxnormen så är kuben inte en kub längre, då är den just en boll som du definierar att ha radien som avståndet till från kubens centrum till  kubens hörn. Då är vi tillbaka till epsilonbollar och inte kuber.

Om vi vill ha en $n$-dimensionell kub som är centrerad i punkten $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ och har sidlängden $2d$ så skulle vi väl kunna bilda mängden $(x_1-d,x_n+d)\times\cdots\times (x_n-d,x_n+d)$ [en produkt av öppna intervall]?

Men visst, jag håller helt med dig om om att detta är lite begränsat, och det är väl i princip bara i just $\mathbb{R}^n$ (eller andra ändliga produkter av metriska rum) som man på något meningsfullt sätt kan använda öppna kuber som bas för sin topologi.

Däremot om vi kan tänka oss lådor - ja, då är väl det här ändå ganska generaliserbart. (Tänker på lådtopologin som man kan definiera på en kartesisk produkt av topologiska rum.)

oggih skrev:

emmynoether skrev:

Om du använder maxnormen så är kuben inte en kub längre, då är den just en boll som du definierar att ha radien som avståndet till från kubens centrum till  kubens hörn. Då är vi tillbaka till epsilonbollar och inte kuber.

Om vi vill att kuben ska vara centrerad i punkten $x=(x_1,\ldots,x_n)$ och ha sidlängden $2d$ så skulle vi väl kunna bilda mängden $[x_1-d,x_n+d]\times\cdotd\times [x_n-d,x_n+d]$?

Hmm... Ja kanske, men se mitt inlägg ovan. Om du definerar en mängd på det sättet du gjorde så behöver det inte nödvändigtvis vara en kub, det kan vara vilket objekt som helst som precis ryms inom en sfär av radie $d$ eftersom det är just maxnormen du använder dig av. Och om du använder dig av den formalismen så kommer det fortfarande vara sfären med radie $d$ som är verktyget du använder dig av. Således är du tillbaka till att det handlar om "epsilonbollar" (eller i det här fallet d-bollar haha). 

@emmynoether: Jag tror vi pratar förbi varandra!

Min poäng är att vi när vi diskuterar det vanliga euklidiska rummet $\mathbb{R}^n$ så kan vi i de allra flesta fall byta ut de öppna bollarna (baserade på den euklidiska normen) från de 'vanliga' definitionerna mot vad som helst helst som bildar en bas för standardtopologin i $\mathbb{R}^n$, t.ex. öppna kuber (som jag definierar som produkter av intervall med gemensam längd) eller öppna lådor (produkter av interval) eller öppna 'rationella' bollar - eller så kan man helt enkelt bara uttrycka allt i termer av generella öppna mängder.

En helt ekvivalent definition av begreppet 'randpunkt' skulle exempelvis kunna vara denna:

En randpunkt till en delmängd $S\subseteq\mathbb{R}^n$ är en punkt $x\in\mathbb{R}^n$ sådan att för varje öppen ($n$-dimensionell) kub $C\subseteq \mathbb{R}^n$, med $x\in C$, så gäller $C\cap S\neq\varnothing$ och $C\cap (\mathbb{R}^n\setminus S)\neq\varnothing$.

där jag med öppen (n-dimensionell) kub menar en mängd på formen

$(p_1-d,p_1+d)\times\cdots\times (p_n-d,p_n+d)$

för $(p_1,\ldots,p_n)\in\mathbb{R}^n$ och $d>0$.

Det är givet denna definition av en öppen kub (vilket jag kanske borde ha varit tydligare med), som jag menar att TS skulle kunna fundera på varför öppna bollar med avseende på maxnormen är samma sak som öppna kuber, dvs. varför vi har likheten

$\{y\in\mathbb{R}^n:\Vert y-x\Vert<d\}=(x_1-d,x_1+d)\times\cdots\times (x_n-d,x_n+d)\,.$

Qetsiyah frågade förresten också om slutna bollar lika gärna skulle kunna användas som 'testmängder'. Svaret är nej, och i grund och botten kokar detta ner till att en enskild punkt är en sluten boll av radie 0 - och om du använder det som 'testmängd' i dina definitioner går allt sönder.

Du kan så klart trixa dig ur detta genom att kräva att dina slutna bollar ska ha strikt positiv radie (dvs. vara tillräckligt stora för att ha en interiör), och att punkterna du undersöker ska täckas av interiören... men då hade du lika gärna kunnat jobba med öppna bollar från första början!

Jag har en följdfråga om att definiera sfärer i Rn

$\Sigma (x_i) ^2=R^2$

Beror inte på valet av norm, men hänger på att basen är kartersisk?

$\left\{x:||x||=R\right\}$

Beror på valet av norm, men inte på val av bas?

Eller vad är det som förssiggår?

Edit: Aha, den första beror visst på valet av norm, det är pythagoras sats generaliserad till Rn med normen som ges av standard inre produkten.

Edit2:

Om du använder maxnormen så är kuben inte en kub längre, då är den just en boll som du definierar att ha radien som avståndet till från kubens centrum till  kubens hörn. Då är vi tillbaka till epsilonbollar och inte kuber.

Enligt definitionen är sfären alla punkter med samma avstånd till origo, och med olika avståndsbegreppet ändras bollens utseende. Finns det inget norm-oberoende sätt att definiera sfären? Alltså den geometriska figuren som inte har några kanter och ser ut som en boll. $\Sigma x_1$ Var alltså mitt försök till det innan jag insåg att det inte fungerade.