Flervariabelanalys - hitta max/min med bivillkor

Du har en tredje ekvation till systemet också: $x^4+y^4=8$. 

Den kan kännas trivial, men det är nyckeln till att kunna lösa systemet. Nu kan vi dividera ekvation ett och två, så blir vi av med lambda: 

$$\begin{gathered} \frac{2x+y}{2y+x}=\frac{\cancel{\mathrm{\lambda }}4x^3}{\cancel{\mathrm{\lambda }}4y^3} \\ \frac{2x+y}{2y+x}=\frac{x^3}{y^3} \end{gathered}$$

Nu kan vi hitta det x och y som ger max/min: 

$\left\{\begin{array}{l}{x}^4+y^4=8\\ \frac{2x+y}{2y+x}=\frac{x^3}{y^3} \mathbf{\Rightarrow } 2x{y}^3+y^4=2y{x}^3+x^4\end{array}\right.$

För att lösa detta system skulle jag rekommendera en fuling: Dela upp den undre ekvationen i två olika ekvationer: 

$2x{y}^3+y^4=2y{x}^3+x^4 \iff \left\{\begin{array}{l}2x{y}^3=2y{x}^3\\ x^4=y^4\end{array}\right.$

Nu kan du lösa ekvationerna för sig. Vilka lösningar har ekvationerna gemensamt? Undersök sedan var dessa lösningar skär $x^4+y^4=8$. :)

Får jag bara påpeka att "fulingen" känns dodgy som sjutton!

Den är onödig också, vi kan lösa ekvationssystemet:

$$\begin{gathered} 2x+y= 4\lambda x^3 \\ 2y+x = 4\lambda y^3 \end{gathered}$$

Ledvis subtraktion av ekvationerna:

$$\begin{gathered} x-y=4\lambda (x^3-y^3) \\ 4\lambda =\frac{1}{x^2+xy+y^2} \end{gathered}$$

givet att x-y inte är 0. Sedan sätter vi in uttrycket för $4\lambda$ i första ekvationen:

$2x+y=4\lambda x^3=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

vilket efter förenkling ger:

${(x+y)}^3=0 \leftrightarrow x+y=0$

Så vi får två fall, antingen x=y eller x=-y. Insättning i x^4+y^4=8 ger explicita lösningarna i de två fallen.

Jaa men självklart, glömmer alltid att man kan subtrahera ekvationssystemet. Tack!!