Flervariabelanalys Greens formel

Greens formel gör att du kan omvandla linjeintegraler till ytintegraler. Ställ gärna upp Greens formel och sevad du får. Området du ska integrera över är det område som stängs in av kurvan $\gamma$.

Notera att $\gamma$ inte är sluten. Därmed måste du förlänga $\gamma$ med det linjesegment som fullgör ellipsen.

Ett tips är att sluta området med en del av en cirkel (se bild nedan) istället för en rät linje, eftersom vi då får en enklare integral på detta kurvsegment då x² + y² = konstant (=2) på cirkeln.

Tillägg: 11 jul 2023 21:05

Såg nu att man skulle gå medurs, så figuren stämmer inte, men du kan använda liknande tänkesätt även om du går medurs.

Hur gick det med denna? Kom du vidare? Säg till om du behöver mer hjälp.

Ett alternativt sätt att lösa denna är att utnyttja polära koordinater.

I polära koordinater har vi att

$\overrightarrow{F}=\frac{{\overrightarrow{e}}_{\phi }}{r}$

$\overrightarrow{r}=r{\overrightarrow{e}}_r$

$d\overrightarrow{r}=dr{\overrightarrow{e}}_r+rd{\overrightarrow{e}}_r=dr{\overrightarrow{e}}_r+r\frac{d\overrightarrow{e_r}}{d\phi }d\phi =dr{\overrightarrow{e}}_r+r{\overrightarrow{e}}_{\phi }d\phi$

$\int \overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{r}=\int \frac{{\overrightarrow{e}}_{\phi }}{r}\bullet \left(dr{\overrightarrow{e}}_r+rd\phi {\overrightarrow{e}}_{\phi }\right)=\int d\phi =\Delta \phi$.

Eftersom man brukar räkna vinkeln positiv moturs med polära koordinater och vi rör oss medurs så skall vi se $\Delta \phi$ som en negativ vinkelförändring mellan startpunkt och slutpunkt. 

Så integralen borde bli $-\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$.

PATENTERAMERA skrev:

Ett tips är att sluta området med en del av en cirkel (se bild nedan) istället för en rät linje, eftersom vi då får en enklare integral på detta kurvsegment då x² + y² = konstant (=2) på cirkeln.

---

Tillägg: 11 jul 2023 21:05

Såg nu att man skulle gå medurs, så figuren stämmer inte, men du kan använda liknande tänkesätt även om du går medurs.

Om man inte har tillgång till geogebra hur kan man veta vilka punkter om korsa då? som i detta fall är 3pi/4 

PATENTERAMERA skrev:

Hur gick det med denna? Kom du vidare? Säg till om du behöver mer hjälp.

Ett alternativt sätt att lösa denna är att utnyttja polära koordinater.

I polära koordinater har vi att

$\overrightarrow{F}=\frac{{\overrightarrow{e}}_{\phi }}{r}$

$\overrightarrow{r}=r{\overrightarrow{e}}_r$

$d\overrightarrow{r}=dr{\overrightarrow{e}}_r+rd{\overrightarrow{e}}_r=dr{\overrightarrow{e}}_r+r\frac{d\overrightarrow{e_r}}{d\phi }d\phi =dr{\overrightarrow{e}}_r+r{\overrightarrow{e}}_{\phi }d\phi$

$\int \overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{r}=\int \frac{{\overrightarrow{e}}_{\phi }}{r}\bullet \left(dr{\overrightarrow{e}}_r+rd\phi {\overrightarrow{e}}_{\phi }\right)=\int d\phi =\Delta \phi$.

Eftersom man brukar räkna vinkeln positiv moturs med polära koordinater och vi rör oss medurs så skall vi se $\Delta \phi$ som en negativ vinkelförändring mellan startpunkt och slutpunkt. 

Så integralen borde bli $-\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$.

Jag har litet svårt att förstår den här med greens formel. Liksom det kan man endast använda om det är slutet? När man räknar så få man att derivatan av F är Q med avseende på x och P m.a.p y så få man att F= 0. Vad betyder detta? att F= 0?

Greens formel ger ett samband mellan en linjeintegral längs en sluten kurva $\gamma$ och en ytintegral över det område D som stängs in av den slutna kurvan.

$\underset{\gamma }{\oint }\overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{r}=\underset{\gamma }{\oint }\left(P, Q\right)\bullet \left(dx, dy\right)\underset{D}{=\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

Formeln gäller då kurvan genomlöpes moturs. Om kurvan genomlöpes medurs får du sätta in ett minustecken i HL.

För att formeln skall gälla så måste vektorfältet vara tillräckligt snällt i området D. I vår fall så är vektorfältet inte definierat i origo, så om området D innehåller origo så kan man inte direkt förlita sig på formeln.

Om vi inte har en sluten kurva så kan vi lägga till ett extra stycke kurva så att vi får en sluten kurva som vi kan tillämpa Greens formel på. Eftersom kurvan i vårt problem inte är sluten så är detta en lämplig strategi här.

I detta fall blir det extra lätt eftersom integranden till ytintegralen blir noll.

Är det klart så långt? Säg till om du inte kommer vidare.

EmelieN skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Ett tips är att sluta området med en del av en cirkel (se bild nedan) istället för en rät linje, eftersom vi då får en enklare integral på detta kurvsegment då x² + y² = konstant (=2) på cirkeln.

---

Tillägg: 11 jul 2023 21:05

Såg nu att man skulle gå medurs, så figuren stämmer inte, men du kan använda liknande tänkesätt även om du går medurs.

Om man inte har tillgång till geogebra hur kan man veta vilka punkter om korsa då? som i detta fall är 3pi/4 

hur vet man att man kan införa en cirkel med radie 2? liksom hur vet man att de korsa i punkten (-1, 1)? För liksom under tentan så kommer jag inte ha tillgång till såna är grafritande så hur vet jag att ekvationen x^2+y^2=2 kommer att korsa med min ellips och därmed kunna skapa en sluten kurva?

Du får rita för hand helt enkelt. Avståndet till origo från start (-1, 1) och slut (-1, -1) är $\sqrt{2}$ så en cirkel med ekvationen x² + y² = 2 går genom dessa punkter.

Du behöver inte sluta kurvan med en cirkel, men det ger nog överlägset enklast integral.

Notera att det var frågan om medurs integrering så man får klura lite på hur man skall tillämpa Greens i detta fall, eftersom det inte blir så enkelt som jag ritade.

Som sagts, så är polära koordinater ett alternativ som ger insikt i vad linjeintegralen av detta fält (den sk virveltråden) mäter (dvs förändring av polära vinkeln).