Flervariabelanalys: gränsvärde existerar men behöver visa med definition

Hjälper inte polära koordinater (med centrum i (1,2))?

Har du försökt faktorisera/kvadratkomplettera i täljaren och nämnaren? Kanske kan det inspirera till något smart variabelbyte?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xy%5E2-4xy-y%5E2%2B4x%2B4y-4%29%2F%28x%5E2%2By%5E2-2x-4y%2B5%29+in+polar+coordinates

Jag provade bara "simplify...", det blev inte fint så jag gav upp på det. Men ja... då blev det enkelt, jag är inte så kvick på kvadratkomplettering.

Kvadratkomplettering är alltid ett bra trix att att ha i bakfickan, men även om man inte kommer ihåg hur man gör det i flera variabler, så hade det ändå varit värt att lite mer i blindo bara prova variablelbytet

   $\left\{ \begin{array}{l}x=a+1\\y=b+2\,.\end{array}\right.$

Eftersom vi ska närma oss punkten $(x,y)=(1,2)$ så skadar det ju inte att translatera hela sin värdsbild dit, så att det blir vårt nya origo. Har man tur blir funktionen så enkel i de nya koordinaterna att vi direkt ser vad gränsvärdet ska vara. Dessutom öppnar detta koordinatbyte upp för ytterligare ett väldigt kraftfullt verktyg, nämligen polära koordinater! 

Notera också att polära koordinater sällan makear speciellt mycket sense om inte gränsvärdet är in mot origo. Hela styrkan med polära koordinater är ju att vissa problem blir naturligare om de formuleras om i termer att något händer med radien eller vinkeln. Att göra detta som du föreslog är därför lite halvt dömt att misslyckas. 

(Det man däremot kan göra är att direkt välja polära koordinater centrerade runt (1,2), så som Dr. G föreslår, vilket motsvarar sammansättningen av translationen jag beskrev ovan, följt av ett "vanligt" polärt koordinatbyte centrerat i origo. Personligen tycker jag dock att risken för att man gör slarvfel minskar om man delar upp det i två steg: först translationen, sedan polära koordinater.)

Ja, jag gjorde det:

Snyggt!

Dock är jag lite skeptisk till att skriv faktorerna $\cos(\theta)\sin^2(\theta)$ utanför $\lim$ som du gör i sista steget. Det får det att de ut som att de är konstanter, vilket de inte nödvändigtvis är beroende på vilken väg vi tar in mot origio.

Däremot är de begränsade (max $1$ och minst $-1$), så därför har de ingen chans att hindra gränsvärdet från att bli $0$ när $r$ blir godtyckligt litet.

Nej där håller jag inte med, de är inte konstanter men gränsvärdet involverar inte dem, så då kan de flyttas ut.

Jag har nog aldrig funderat ordentligt på detta, så jag blir lite osäker nu. Någon som är bättre på analys än mig kanske kan ge ett bättre svar, men jag tror att du har fel.

Till att börja med: När vi skriver

   $\lim_{r\to 0} {f(r,\theta)}=L$

i det här sammanhanget, så betyder det att vi får gränsvärdet $L$ när vi närmar oss $(0,\text{whatever})$ i "det polära koordinatsystemet" $\mathbb{R}_{>0}\times [0,2\pi)$ längs vilken tillräckligt slät kurva som helst. Jämför med

   $\lim_{(x,y)\to(0,0)} {g(x,y)}=L\,,$

som ju betyder att vi får gränsvärdet $L$, oavsett vilken kontinuerlig väg in mot origo som vi väljer.

Ett konkret exempel där ditt tankesätt tycks ställa till med problem, är om vi har funktionen

   $f:(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med $\,{f(x,y)}=\frac{x^2+y^2}{x}$.

Byter vi till polära koordinater får vi en funktion

   $\tilde{f}:\mathbb{R}_{>0}\times{([0,2\pi)\setminus\{\pi/2,3\pi/2\})}$ med $\tilde{f}{(r,\theta)}=\frac{r^2}{r\cos(\theta)}$.

Det är rätt tydligt redan i kartesiska koordinater att det inte kommer finnas något gränsvärde när $(x,y)\to (0,0)$. Du kanske själv kan hitta en kurva in mot origo som leder till divergens?

Vad händer nu i polära koordinater? Vi får gränsvärdet

   $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{x}=\lim_{r\to 0} \frac{r^2}{r\cos(\theta)}=\lim_{r\to 0} \frac{r}{\cos(\theta)}\,.$

Här konstaterar jag att vi får gränsvärdet 0 om vi närmar oss längs en konstant vinkel $\theta\not\in\{\pi/2,3\pi/2\}$. Men om vinkeln ändrar sig under färden in mot origo, på ett sådant sätt att den närmar sig en förbjuden vinkel tillräckligt snabbt, så kan $\cos(\theta)$ gå mot noll så snabbt att vi råkar i trubbel. Jämför med exemplet i spoilern, och försök föreställa dig visuellt vad som händer.

Med ditt skrivsätt känns det som att det finns en risk att man missar detta, och att man skulle man kunna få för sig att man kan skriva om gränsvärdet till

   $\frac{1}{\cos(\theta)}\lim_{r\to 0} r=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot 0=0\,.$

Jag tror numera också att jag har fel, men att det inte spelade någon roll för den uppgiften. Se detta:

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\arctan(\cos(\theta)x)$