Flervariabelanalys: Gränsvärde
Jag undrar varför de får välja "y-1 = k(x-2)^2" ? Och finns det något sätt att räkna sig fram till att välja just det eller behöver man bara "se" det? Förstår att om man använder det uttrycket så kan man förkorta bort termen (x-2). Tack på förhand.
Finns ingen direkt steg-för-steg-metod för att hitta rätt variabelbyte, så tror tyvärr du bara behöver 'se' det. Däremot blir man ju bättre på att se dessa mönster med erfarenhet. Ett generellt tips är väl dock att först hitta rimliga kandidater för vad man kan byta ut - i det här fallet verkar ju antingen (x-2), (y-1) eller möjligen (x-2)^2 rimligt - och sedan försöka hitta ett mönster i hur dessa kandidater används i uttrycket för att komma fram till något man kan byta ut de mot.
Något oklart svar kanske, men som sagt så kommer sånt här med erfarenhet.
- Ett litet tips är att försöka göra uttrycket så enkelt som möjligt. Ex om vi undersöker uttrycket utefter linjen x=2 blir det 2/(y-1) som brakar iväg mot oändligheten när y går mot 1. Viktigt: för att bevisa att ett uttryck divergerar så räcker det att visa divergensen utefter EN väg och den vägen bestämmer du. Alt kan du ta två vägar som ger olika resultat.
Hm, jag förstår inte riktigt, får jag alltså byta ut vad som helst mot vad som helst? Varför? Och om jag gör ett variabelbyte måste jag väl också ändra gränser eller byta tillbaka innan jag kollar gränsvärdet? Varför kan de bara undersöka k och veta att det inte finns något gränsvärde då (x,y)-->(2,1)?
Hur får du uttrycket till 2/(y-1) när du går längs linjen x=2?
1. Det handlar inte om variabelbyte som t ex när man integrerar. Här har du en funktion f(x,y) och vill undersöka om den har ett gränsvärde när (x,y) går mot en viss punkt (2,1). För att den ska konvergera krävs att den gör det mot samma värde OBEROENDE av vilken väg (x,y) tar mot punkten. För att divergera räcker det då att den gör det via minst en väg, alt två vägar med olika resultat.
2. När x=2 så är parenteserna (x-2)=0 Uttrycket blir då (0(y-1))/(0+(y-1)2)=0. Inte det jag skrev alltså. (på min lilla mobil och ser jag inte hela uttrycket samtidigt som jag skriver, vilket spelar sina spratt). Här behövs ”tvåvägaren” Det är praktiskt att se till parenteserna i nämnaren blir likadana så att man kan bryta ut och förkorta. Det är vad facit gör när man väljer väg.
