Flervariabelanalys gränsvärde

Hej! Jag skulle behöva få lite hjälp med denna uppgift. (Uppgift 1.28 i analys i flera variabler av person-böiers).

Deluppgift a: Låt l vara en rät linje genom origo. Bestäm gränsvärdet av restriktionen av $f (x, y) = x y e^{- x^{2} y^{2}}$ till l då $x^{2} + y^{2} \overset{}{\to} \infty$ .

och deluppgift b: Bestäm $\lim_{x^{2} + y^{2} \to \infty} f (x, y)$ .

Mina frågor är följande: I uppgift a så är jag tveksam om jag förstår vad som egentligen menas. Jag tolkar uppgiften som att man ska låta $y = k x \forall x \in D_{f}$ (även fallet då y=0 och x=0). Är detta korrekt uppfattat?

I sådana fall visar man lätt att $f (x, y) = f (x, k x) = k x^{2} e^{- k^{2} x^{4}} \underset{x^{2} + y^{2} = x^{2} (1 + k^{2}) \underset{}{\to} \infty}{\to} 0$ .

De andra fallen med y=0 och x=0 ger också att gränsvärdet är noll. (vilket är rätt svar).

I uppgift b däremot blir jag mycket tveksam när facit säger att gränsvärdet $\lim_{x^{2} + y^{2} \to \infty} f (x, y)$ inte existerar. Jag tänker såhär:

Genom att jag i uppgift (a) fick fram att om jag går mot oändligheten via linjen y=kx så blev gränsvärdet noll för funktionen, så vet jag att ifall gränsvärdet för f existerar måste detta vara lika med noll. Om jag inför polära koordinater så att $\{\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \end{cases}$ och $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ och studerar $|f (x, y) - 0| = |r^{2} \cos θ \sin θ e^{- r^{4} \cos^{2} θ \sin^{2} θ}| = r^{2} \frac{|\cos θ| |\sin θ|}{e^{r^{4} \cos^{2} θ \sin^{2} θ}} \leq \frac{r^{2}}{e^{r^{4}}} \underset{r \underset{}{\to} \infty}{\to} 0$ oberoende av $θ$ , så säger detta mig att gränsvärdet borde existera och vara lika med noll. Varför blir detta fel? Det är på detta sätt jag löst liknande uppgifter tidigare. Tacksam för hjälp!

Mvh!

Bör tilläggas att facit menar att man t.ex. skall studera $f (x, \frac{1}{x})$ och se att gränsvärdet inte existerar. Men jag förstår inte i så fall vart någonstans det blir fel i min kalkyl ovan. Där har jag väl visat att gränsvärdet faktiskt existerar och är lika med noll?

a) Ja, jag tolkar det som att du ska bestämma gränsvärdet om du endast närmar dig längs linjerna x=0, y=0 eller y=kx

b) den sista olikheten du skriver gäller inte oberoende av vinkeln.

Hej!

Jag föreslår att du använder planpolära koordinater $(r,\theta)$ istället för rektangulära koordinater $(x,y)$ .

Ekvationen för den räta linjen (L) genom origo blir då $L \,:\, \theta=\theta_0$ där \theta_{0} är konstant och motsvarar linjens lutning; denna linje har sin utgångspunkt i origo.
Funktionen som du ska studera gränsvärdet för är

$g(r,\theta_{0}) = r^2\sin\theta_{0}\cos\theta_{0}\cdot e^{-r^4\sin^2\theta_{0}\cos^2\theta_{0}}$ där $r \to \infty \ .$

Du vet att

$\sin\theta_{0}\cos\theta_{0} = 0.5\sin2\theta_{0}$

vilket gör att du kan skriva

$e^{-0.25\cdot r^4\sin^22\theta_0} \leq e^{-0.25r^{4}}$

och följaktligen får du

$|g(r,\theta_{0})| \leq 0.5r^{2}e^{-0.25r^{4}} \to 0$ när $r \to \infty.$

Albiki

Hej Albiki,

jag ser inte skillnaden på din och TS ansats? Olikheten gäller väl fortfarande inte oberoende vinkeln? Funktionsvärdet är ju konstant längs hyperbeln y=1/x, vilket väl räcker för att visa att inte gränsvärdet existerar?

Hej! Tack för svar.

Jag förstår inte vad du menar med att olikheten i (b) inte är oberoende av vinkeln? Självklart så existerar inte gränsvärden, om man (som facit gör) sätter y = 1/x. Då är ju funktionsvärdet konstant, precis som du säger. Nu var det ju visserligen kanske inte så svårt att "se" detta direkt, att man kunde låta y =1/x och visa att gränsvärdet inte existerade.

Men jag förstår fortfarande inte varför min kalkyl ovan ger mig att gränsvärdet existerar. Det är ju precis på detta vis liknande uppgifter löses i min kursbok. Alltså: Visa att funktionen går mot något visst gränsvärde, L, om vi exempelvis går längs koordinataxlarna, räta linjer, etc... och sedan ansätta att ifall gränsvärdet för funktionen ska existera så måste detta ju vara lika med L och därefter göra uppskattningar såsom jag gjort. Jag ser inte vart det blivit fel någonstans.

Alltså: Ifall man inte direkt "ser" att y=1/x ger ett konstant funktionsvärde och gör en ansats som ovan, så borde ju i detta fall (då gränsvärdet uppenbarligen inte existerar) uttrycket jag får i r efter min uppskattning gå mot något annat än noll? Eller? Vad är det jag missar? Hoppas ni förstår vad jag menar

Om du hittar två olika gränsvärden så behöver du inte visa mer. Du har visat att gränsvärdet är noll för linjen y=kx samt att gränsvärdet är 1/e för y=1/x.

Gällande olikheten: testa att sätta in t ex r=1 och vinkeln pi/6, gäller olikheten då?

Enklast att visa att du inte kan bortse från vinkeln är kanske genom att göra substitutionen

$\sin θ = \frac{y}{r} \cos θ = \frac{x}{r}$

i ditt uttryck med polära koordinater. Studera därefter gränsvärdet när y=1/x så ser du att det blir 1/e. Om du studerar gränsvärdet när y=1/x i ditt uttryck där du förkastat bidraget från vinkeln fås gränsvärdet 0

Svara

Visa senaste svar