Flervariabelanalys: Gradient vinkelrät mot derivata?
Antag att en kurva kan parametriseras med r(t) = (x(t), y(t)).
Gradienten är ju per definition alltid vinkelrät mot kurvan (om den inte är nollvektorn).
Men är det alltid sant att r(t) alltid är parallell med kurvan, d.v.s. vinkelrät mot gradienten?
Det låter rimligt att r(t) växer längs med kurvan när t växer och att r’(t) därmed alltid pekar längs med r(t) och därmed är parallell med kurvan, tycker jag.
- Är det rätt tänkt?
- Går det att visa lite mer formellt?
Utgå från vad du vet (formellt) och inte det du tänker och tror. Hur definieras gradienten?
För "låter rimligt" måste ju kunna motiveras. Och hur beror "gradient" och "derivata" av varandra? En till sak är att r(t) är en punkt och per definition parallell med allt som går genom punkten alternativt inte parallell med någon riktning.
Antag att kurvan kan skrivas på formen f(x,y) = konstant
Nåt sånt kanske?
Tack båda. Henrikius formel är en utmärkt sammanfattning av denna utmärkta video som jag hittat efter att jag ställde frågan:
