Flervariabelanalys: generalisering av upplevda areor
Hej, om jag har en fyrkantig kakelplatta och ser på den rakt framifrån så ser den ut som en kvadrat, men om jag vinklar den kommer den se ut som en paralelltrapets (eller romb) med mindre area. Det blir en skillnad mellan "upplevda arean sedd från ett vinkelperspektiv" och den "äkta arean". Jag vet att avståndet från plattan spelar roll men det är inte det jag vill åt.
Tag nu en funktionsyta (x,y,f(x,y)) och en given punkt x0=(x0,y0,z0) som man ser från. Vi vill räkna ut kvoten (härmed kallad areakvot) av den "upplevda arean" och den "äkta arean" i ett kompakt område (x,y)∈ Ω där f även är C1.
- En mycket viktig insikt: skalärprodukten mellan de normerade vektorerna (normalen till en punkt (x,y,f(x,y))) och (x0-(x,y,f(x,y))) anger den lokala areakvoten. Alltså: då vektorerna är vinkelräta är den uppleva arean noll och därmed även areakvoten noll.
- Om ytan har flera kullar kan vissa "dalar" döljas (inte vara synliga alls), hur räknas det? Är det rimligare att tänka att ytan är transparent?
- En kon sedd från dess topp har upplevd area noll.
- Icke-kompakta ytor?
- Given en yta, från vilken/vilka perspektivpunkt får man den största upplevda arean?
Den "upplevda arean" är väl bara projektionen av figuren/ytan på ett plan genom x0. Exakt vilket plan framgår inte av din formulering, tror jag. Det beror på vilken del av figuren/ytan som du tittar på. Säg att du tittar på en punkt y på ytan. Då tolkar jag det som att den upplevda arean är projektionen av ytan på planet med normalen x0-y.
En kon sedd från dess topp har upplevd area noll.
Det här känns orimligt för mig. En kon sedd från sin topp borde ha upplevd area lika med basarean.
På vilket sätt skiljer sig detta mot tex en rymdvinkel?
Smaragdalena: utan lock, såklart
Patenteramera: vem pratar du med?
Peter: nej, det är i så fall projektion på en punkt... typ
Det verkar som att vi inte förstår dig och du inte förstår oss. Jag tror att du får förtydliga vad du menar. Jag håller t.ex. med Smaragdalena fullständigt om att den "upplevda arean", såsom jag tolkar din fråga, av en kon sedd uppifrån blir samma som bottenarean. Det är dessutom samma area som en projektion på ett plan, med konens symmetriaxel som normal, skulle ha.
Qetsiyah skrev:Hej, om jag har en fyrkantig kakelplatta och ser på den rakt framifrån så ser den ut som en kvadrat, men om jag vinklar den kommer den se ut som en paralelltrapets (eller romb) med mindre area.
Återigen, projektionen av plattan på ett plan, med siktlinjen (x0-y som jag skrev ovan) som normal, blir precis denna parallellogram (om man ska vara petig). Det förutsätter att det är en parallellprojektion utan perspektiv.
PATENTERAMERA skrev:På vilket sätt skiljer sig detta mot tex en rymdvinkel?
Det är exakt en rymdvinkel jag pratar om. Tack.
Jag insåg det när jag såg detta haha:
