Flervariabelanalys: fråga om nivåyta och en diffekv

Bump!

Bumo

Varför förmodar du att du gjort något fel? Jag skulle väl bara säga att din parametrisering var onödig.

Som sagt är jag ingen matematiker men definitionen av en nivåkurva ${\Gamma }_{f, C}$ är:

${\Gamma }_{f, C}=\left\{(x, y)\in {\mathrm{ℝ}}^2 : f(x, y)=C\right\}$

Vi bör således kunna definiera en funktion enligt:

$\gamma (x, y)=f(x, y)-C$

Varefter vi får att:

$\frac{\partial \gamma }{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial \gamma }{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}$

Vilket naturligtvis innebär att:

$\frac{\partial \gamma }{\partial x}-3\frac{\partial \gamma }{\partial y}=0$

Ovan differentialekvation kan du kontrollera med linjen genom att ansätta $\gamma (x,y)=3x+y-1$.

Jag tycker du är helt rätt på det! Här kommer en lite utförligare formulering av ditt argument, som förhoppningsvis förklarar varför det visar det som det är tänkt att visa.

Uppgiften går ut på att visa att om $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ är en differentierbar funktion, sådan att vilkoret

   $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}-3\frac{\partial f}{\partial y}=0\qquad {(\star)}$

uppfylls, så är linjnen

   $L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:3x+y=1\}$

en (del av en) nivåkurva till $f$, i bemärkelsen att $f$ är konstant på mängden $L$ (men inte nödvändigtvis i bemärkelsen att $L$ är en mängd på formen $\mathrm{\Gamma}_{f,C}$ för något $C\in\mathbb{R}$ med Ebolas notation).

Ett smart sätt att undersöka restriktionen av $f$ till $L$ är att parametrisera $L$, och sedan stoppa in parametriseringen i $f$. Ett smidigt val av parametrisering är

   $\left\{\begin{array}{l}x(t)=t\\ y(t)=1-3t\,.\end{array}\right.$

Viktigt att notera är att värdemängden för den här parametriseringen är hela $L$ (så att vi verkligen kan använda den för att dra slutsatser om hela linjen), och att både $x(t)$ och $y(t)$ är deriverbara (så att vi kan använda kedjeregeln senare).

Att visa att $f$ är konstant på $L$ är nu ekvivalent med att visa att $f(x(t),y(t))$ är konstant med avseende på $t$. Eftersom både $f$, $x$ och $y$ är deriverbara är detta i sin tur ekvivalent med att visa att $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}{f(x(t),y(t))}=0$ för alla $t$. Och detta följer mycket riktigt av kedjeregeln, eftersom

   $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{f(x(t),y(t))}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}-3\frac{\partial f}{\partial y}\,,$

där högerledet blir 0 enligt vilkoret $(\star)$ ovan.

Ebola: Jag hänger inte riktigt med i din lösning. Hur visar den att $f$ är konstant på den givna linjen?

Tack oggih.

En liten följduppgift:

Hitta på en annan (deriverbar och surjektiv) parametrisering $(x(t),y(t))$ av linjen $L$, och kontrollera att $\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}f(x(t),y(t))=0$ gäller även för denna parametrisering.