Flervariabelanalys, Flödesintegral

Området är en uppochnedvänd kon med spetsen i origo. Jag förstår inte din parametrisering.

Parametrisera i $r$ och $\theta$ istället.

$x=r\cos(\theta)$

$y=r\sin(\theta)$

$z=?$

$\mathbf{r}(r,\theta)=?$

Tänk på att välja normalen åt "rätt håll", det står "ned" genom ytan.

D4NIEL skrev:

Området är en uppochnedvänd kon med spetsen i origo. Jag förstår inte din parametrisering.

Parametrisera i $r$ och $\theta$ istället.

$x=r\cos(\theta)$

$y=r\sin(\theta)$

$z=?$

$\mathbf{r}(r,\theta)=?$

Tänk på att välja normalen åt "rätt håll", det står "ned" genom ytan.

Hmm okej jag tror jag fattar vad du menar. med parametrisering

 $$\begin{gathered} r(r,\theta )=(r·\cos (\theta ),r·\sin (\theta ),r) \\ {r}_r=\left(\cos \right(\theta ),\sin (\theta ),1) \\ {r}_{\theta }=(-r·\sin (\theta ),r·\cos (\theta ),0) \\ {r}_r\times r_{\theta }=(-r·\cos (\theta ),r·\sin (\theta ),r) \\ F\left(r\right(r,\theta \left)\right)=(-r·\sin (\theta ),r·\cos (\theta ),r) \\ F·(r_r\times r_{\theta })=r^2 \\ {\int }_0^1{r}^{3}dr=\frac{1}{4} \\ {\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi \\ Flödet=\frac{\mathrm{\pi }}{2} uppåt=-\frac{\pi }{2} Nedåt \end{gathered}$$

Dock återstår frågan varför man inte kan göra som jag gjorde intitial. Parametriseringen $r(\theta ,z)$funkar ju med cylinderytor. Varför fungerar det inte med konytor? Är det för att med koniska ytor så varierar r men med cylinderytor hålls radien konstant?

Ja, i cylindriska koordinater kan du antingen hålla $r,\theta$ eller $z$ konstant för att låta de andra två koordinaterna vara parametrar för att beskriva en yta. Det ger dig tre möjliga ytor, mantelytan till cylindern då $r$ hålls konstant,  cirkelskivor (t.ex. tak och golv på cylindern) då $z$ hålls konstant samt utskurna skivor (plan), då $\theta$ hålls konstant.

För att beskriva en kon behöver du på något sätt ta hänsyn till att $z=z(r)$ eller $r=r(z)$

Förövrigt verkar du ha slarvat lite, $F\cdot (r_r\times r_\theta)=r^3$

Du får ända rätt svar eftersom du multiplicerar med $r$, vilket jag tror du gör för att du tänker att du byter till polära koordinater.

Men normeringen är alltid korrekt när du bildar kryssprodukten för parameterframställningen. Du ska alltså INTE multiplicera med ett extra $r$ i den sista integralen, det har kryssprodukten av tangentbasen $\mathbf{r}_r\times \mathbf{r}_\theta$ redan fixat åt dig.

D4NIEL skrev:

Ja, i cylindriska koordinater kan du antingen hålla $r,\theta$ eller $z$ konstant för att låta de andra två koordinaterna vara parametrar för att beskriva en yta. Det ger dig tre möjliga ytor, mantelytan till cylindern då $r$ hålls konstant,  cirkelskivor (t.ex. tak och golv på cylindern) då $z$ hålls konstant samt utskurna skivor (plan), då $\theta$ hålls konstant.

För att beskriva en kon behöver du på något sätt ta hänsyn till att $z=z(r)$ eller $r=r(z)$

Förövrigt verkar du ha slarvat lite, $F\cdot (r_r\times r_\theta)=r^3$

Du får ända rätt svar eftersom du multiplicerar med $r$, vilket jag tror du gör för att du tänker att du byter till polära koordinater.

Men normeringen är alltid korrekt när du bildar kryssprodukten för parameterframställningen. Du ska alltså INTE multiplicera med ett extra $r$ i den sista integralen, det har kryssprodukten av tangentbasen $\mathbf{r}_r\times \mathbf{r}_\theta$ redan fixat åt dig.

Ah tack.

Dock verkar det inte gälla ifall man räknat ut integranden i (x,y) och sen överför till polära precis innan man börjar integrera om du förstår vad jag menar. Då verkar det som att man behöver lägga till skalfaktor r.

Till exempel:

 $$\begin{gathered} r(x,y)=(x,y,1-x^2-y^2) \\ {r}_x\times r_y=(2x,2y,1) \\ F\left(r\right(x,y\left)\right)=(x+y, y, 2xy-x^2-y^2) \\ F\left(r\right(x,y\left)\right)·(r_x\times r_y)=x^2+y^2+4xy+4 \\ Polära: r^2+4(r^2·\cos (\theta )·\sin (\theta \left)\right)+4 \\ \iint (r^2+4(r^2·\cos \left(\theta \right)·\sin \left(\theta \right))+4) rdrd\theta \end{gathered}$$

Det är korrekt, orsaken är att din första parametrisering sker i parametrarna (x,y).

$\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y))$

Din kryssprodukt känner ju då inte till att du tänker göra ytterligare en parametrisering, nämligen ett senare byte till polära koordinater

Om du vill kan du fixa till båda parametriseringarna samtidigt, så här:

$\mathbf{r}(r,\theta)=(r\cos(\theta), r\sin(\theta), 1-r^2)$

Då behöver du inte multiplicera med r, normeringen ingår i $\mathbf{r}^\prime_r\times \mathbf{r}^\prime_\theta$