Flervariabelanalys, flöde vektorfält

Det stämmer att divergensen i området _runt_ origo är noll. Men för att få använda Gauss sats gäller vissa villkor. I det här fallet visar det sig att du har en punktkälla i origo (fältet är singulärt där). Så du måste hantera den singulära punkten innan du tillämpar Gauss sats.

Ytintegralen för fältet

$\displaystyle \mathbf{F}(r,\theta\,\varphi)=r^{-3}\mathbf{r}=\frac{\hat{r}}{r^2}$

är dock trivial att beräkna för t.ex. enhetssfären, flödet är sedan detsamma för alla omslutande ytor eftersom divergensen i mellanliggande område är noll.

Hur ska man ta hänsyn till den singulära punkten isf? Och hur beräknar man resterande område? Om man då får använda Gauss bortsett från origo vad ska man isf räkna på? 

Det är enkelt att beräkna flödet ur en sfär med radie R och centrum i origo.

Notera att på sfären så gäller d$\overrightarrow{S}$ = $\hat{r}$dS och r = R.

$∯\overrightarrow{F}\bullet d\overrightarrow{S}$ = $∯$$\frac{\hat{r}}{r^2}$$\bullet$$\hat{r}$dS = $\frac{1}{R^2}$$∯$dS = …

Jag försöker lösa samma uppgift och hittade en liknande uppgift med samma vektorfält givet i frågan. I lösningen säger man att en normalvektor i en punkt (x,y,z) blir $N=\frac{(x,y,z)}{R}$och då är vektorfältet i den punkten $F=\frac{(x,y,z)}{R^3}$.

Sedan beräknar man flödet som bilden visar. Här använder man ju Gauss sats även fast det finns en singulär punkt i (0,0,0). Varför kan man i det här faller bortse från den men inte annars? Och hur får dem dubbelintegralen 1/R^2 till 4pi?

I det du redovisar används inte Gauss sats, det är bara en vanlig ytintegral.

Sfärens area är $4\pi R^2$. Så

$\displaystyle \frac{1}{R^2}\iint_\Sigma \,dS=\frac{4\pi R^2}{R^2}=4\pi$

Juste jag tänkte fel! Tack! Men varför kan man beräkna ytintegralen för att få flödet? Och då bortse från punkten (0,0,0)

Ytintegralen av $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ är per definition det samlade flödet ut genom ytan.

Ytintegralen gäller ju sfärens "skal", dvs ytan. Alla punkter på ytan ligger  på avståndet R från punkten (0,0,0).

Om vi däremot försöker använda Gauss sats måste fältet vara kontinuerligt deriverbart i ett öppet område som håller såväl begränsningsytan som den inneslutna volymen. I det här fallet ingår punkten (0,0,0) i volymen och där är som sagt fältet singulärt.

Om man vill använda Gauss sats måste man hantera den punkten på något sätt.

I regel använder man Gauss sats för att förenkla en ytintegral. Men i det här fallet är ytintegralen trivial att beräkna. Det är därför lite onödigt att blanda in Gauss sats i den här uppgiften.

Men det är ändå viktigt att förstå att integralen inte blir noll, vilket Gauss sats annars kan förleda oss att tro emedan divergensen av fältet är noll.

Hur skulle man rent praktiskt kunna beräkna flödet ur enhetssfären då? Vore detta ett korrekt vis?Har alltså N^ = (x,y,z) och använder radien 1 för att förkorta bort nämnaren 

Du har använt fel ytelement, korrekt element med ditt vinkelval bör  vara $dS=r^2\sin(\varphi) d\varphi d\theta$

Med $r=1$ blir sista steget alltså

$\displaystyle \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi} \sin(\varphi)\,d\varphi d\theta=4\pi$

Notera att du förövrigt kan ersätta även täljarens $x^2+y^2+z^2$ med $1$ direkt så slipper du sätta in transformationens trigonometriska funktioner.