Flervariabelanalys - Extrempunkter

Kategorisering av extrempunkter:

En uppgift hade uttrycket (2x-y)^2 och angav det som positivt semidefinit medan uttrycket (x+3y/8)^2 samt (x-6y)^2 i en annan uppgift angavs vara positivt definit. Trodde att kvadrater alltid blev positiva och tänkte därav att de alltid är positivt definita. Förstår inte skillnaden eller hur en ser skillnad på dem?

Kvadratiska formeln:

Olika uppgifter och facit anger olika varianter av formeln vilket gör mig förvirrad. Jag hade ursprungligen förstått det som att den ser ut som följande:

Q(x,y) i punkten (a,b) = f(a,b) + f´x(a,b)(x-a) + f´y(a,b)(y-b) + f´´xx(a,b)*(x-a)^2/2 + f´ýy(a,b)*(y-b)^2/2 + f``xy(a,b)(x-a)(y-b).

Dör f´x står för den partiella derivatan av x, vsv för y.

Men i mina facit så utelämnas dels f(a,b) samt (x-a) resp (y-b) för alla uppgifter jag räknat. De använder istället enbart x och y utan att subtrahera a och b. De varierar även mellan att skriva antingen 2 * f´´xy(a,b)xy + f´´xx(a,b)x^2 + f´ýy(a,b)y^2 eller f´´xy(a,b)xy + f´´xx(a,b)(x^2)/2 + f´ýy(a,b)(y^2)/2, vilket gör mig förvirrad.

Hur ser formeln ut? När ska man ta med f(a,b) samt subtrahera a och b och när ska man inte göra det? Är det någon skillnad på de två senaste uttrycken som de varierar som jag inte ser eller är de samma sak?

När något är rörigt och det snurrar runt en massa saker man inte har full koll på är det viktigt att titta på en sak i taget.

Din post innehåller många olika frågor och du verkar vilja överförenkla eller hoppa över en del viktiga detaljer.

Utan att veta säkert skulle jag gissa att din lärobok gör en Taylorutveckling kring en stationär punkt $(a,b)$ så här

$\displaystyle f(a+x,b+y)=f(a,b)+\frac{1}{2}(f^{\prime\prime}_{xx}(a,b)x^2+2f^{\prime\prime}_{xy}(a,b)xy+f^{\prime\prime}_{yy}(a,b)y^2)+\dots$

Att punkten är stationär innebär att första ordningens derivator är noll.

Sedan studerar man den kvadratiska formen

$\displaystyle Q(x,y)=f''_{xx}(a,b)x^2+2f''_{xy}(a,b)xy+f''_{yy}(a,b)y^2$

Det spelar i sammanhanget ingen roll om man studerar $Q(h,k)$ eller $Q(h,k)/2$ .

En väldigt viktig detalj här är att $(x,y)\neq (0,0)$ , dvs du får aldrig låta båda variablerna vara 0 samtidigt. Att $a$ och $b$ "försvinner" beror på att vi sätter in andraderivatornas värden i punkten. I något fall verkar du använda $x-a$ och $x-b$ som avståndet från punkten. Då motsvaras $x,y$ av $a$ och $b$ i formeln ovan och den kvadratiska formen beror istället på $Q(a,b)$ . Parametrarna i den kvadratiska formen är alltså avståndet från arbetspunkten.

Det skulle också kunna vara så att din lärobok använder en variant av Hessianen, det är svårt att avgöra från din text.

Jag tycker därför att du ska välja ut några av de specifika övningsuppgifter du undrar över och posta dem samt visa hur du försökt lösa dem och vad det är som förvirrar dig. Skapa en ny tråd för varje problem.

Svara