Flervariabelanalys: dimension
(Jag kom plötsligt på detta och gav upp på att försöka somna)
Hej, det är trevligt att inituitionen om dimension får en ordentlig definition i linjär algebra med "baser" och hur många som behövs för att spänna ett underrum och så. Så tänkte jag att det måste väl finnas att sätt att skilja på kurvor och ytor också i exempelvis R3, men det är ju inte vektorrum och har inga "baser". Men då tänker jag att dess dimension kanske kan sägas vara antal oberoende variabler som behövs för att parametrisera den? Yes no? Då blir det 1 för kurvor och 2 för ytor i alla fall.
Detta handlar om skalärfält, är det relevant att tala om dimensioner för... vektorfält? Jag kanske pratar nonsense, det är så sent på natten
Space filling curves?
Det finns rätt många (olika!) sätt att definiera dimension på. Ett sätt att göra det är att först bestämma sig för att R^n har dimension n. Sedan så säger man (ungefär, det finns lite tekniska detaljer) att ett objekt har dimension n om det lokalt ser ut som R^n. Zoomar du t.ex. in på en cirkel så ser den lokalt ut som en linje. Även en sfär se lokalt ut som ett plan t.ex.
Det låter som differentialgeometri!
Men bland alla olika sätt, vilken är den enklaste då?
Linjäralgebra definitionen är ju hyfsat enkel, men det beror rätt mycket på att objekten vi undersöker i linjär algebra är relativt enkla. Vektorrum är ju linjära, så de bildar plan, linjer odyl istället för mer komplicerade saker som sfärer och kurvor. Olika delar av matematiken har olika definitioner för dimension (ibland behöver den inte ens vara ett heltal).
Men för mig som bara vill skilja på en (funktions)yta och en kurva i R3, finns ingen bra enkel definition?
En definition som kan fungera är att titta på lokala parametriseringar, kan du skriva din "yta" som z=z(x,y) (där z är en hyfsat snäll funktion, t.ex. differentierbar) t.ex. Man skulle också kunna prata om hur många linjärt oberoende tangentvektorer du har i varje punkt. Dessa definitioner fungerar ofta, men man kan stöta på problem även i hyfsat snälla situationer. Är t.ex. bokstaven X en eller tvådimensionell? I mittpunkten har vi ju i någon mening två riktningar.
