Flervariabelanalys - Differentierbarhet

Hejsan, jag håller på att grubbla över en viss sats i flervarren som jag inte riktigt förstår mig på helt, framförallt förstår jag inte hur satsen håller för ett visst exempel jag vill ta upp.

"Varje funktion av klassen $C^{1}$ är differentierbar" Där en funktion i klassen alltså är en funktion som är partiellt deriverbar och att alla partiella derivator är kontinuerliga i definitionsmängden av f.

Om jag nu vill försöka avgöra om funktionen f(x, y) = $\{\begin{cases} 0, x y \neq 0 \\ 1, x y = 0 \end{cases}$ är differentierbar så är det ju uppenbart att så inte är fallet då den inte är kontinuerlig i (0,0).

Jag finner dock att $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0$ för alla punkter i definitionsmängden vilket jag tolkar måste medföra att alla partiella derivator är kontinuerliga, detta borde alltså enligt satsen ovan medföra att f är differentierbar, vilket den uppenbarligen inte är.

Jag är helt övertygad om att jag har missat/missuppfattar något trivialt här så jag vore väldigt tacksam för svar då jag slösat alldeles för mycket tid över att grubbla på detta.

Lite osäker, men jag tror att problemet är df/dx och df/dy i (0,0). (Förenklar resonemanget nedan till 1D)

Jag förstår att du om du tar d(1)/dy = 0, men om du tittar på definitionen av derivatan lim[h->0](f(0+h)-f(0))/h, vilken inte är definerat i 0,0.

Eftersom funktionen är 1 i endast en punkt kan du inte säga att lutning är 0.

Jag är inte helt säker på att jag förstår vad du menar men jag vill bara förtydliga att jag är medveten om att funktionen inte är differentierbar, min fråga är helt enkelt hur jag (genom att utgå från satsen jag citerade) kan få en motsägelse (uppenbarligen tänker jag fel där på något sätt)

Om jag nu utgår från ditt exempel men ser det som gränsvärdet av den partiella derivatan m.a.p y så får jag ju dock att den visst är definierad: $\lim_{h \to 0} \frac{f (0, 0 + h) - f (0, 0)}{h} = \frac{0 - 0}{h} = 0$ , det samma när man deriverar m.a.p x.

Det är just det här jag inte förstår, de partiella derivatorna är definierade och (som jag tolkar det) kontinuerliga, men funktionen är absolut inte differentierbar vilket jag anser motsäger satsen ovan.

Nja,

$\frac{f (0, 0 + h) - f (0, 0)}{h} = \frac{0 - 1}{h} = - \frac{1}{h}$ är inte definierat som gränsvärde när h->0 för då går funktionen mot \inf

Jag skulle säga att satsen faller på "att alla partiella derivator är kontinuerliga i definitionsmängden av f"

Även om den är partiell deriverbar är den partiella derivatorna inte kontinuerliga i (0,0) på grund av ovan

Förlåt, jag menade naturligtvis $\lim_{h \to 0} \frac{f (0, 0 + h) - f (0, 0)}{h} = \frac{1 - 1}{h} = 0$

Jag tror dock du har hjälp mig förstå vad som jag har tänkt fel, för om jag istället för att beräkna partiella derivatorna i (0,0), där de är kontinuerliga, beräknar dem i exempelvis (a, 0), då kommer definitionen ge problem:

$\lim_{h \to 0} \frac{f (a, 0 + h) - f (a, 0)}{h} = \frac{0 - 1}{h} = - \infty s a m t i d i g t : \lim_{h \to 0} \frac{f (a, b + h) - f (a, b)}{h} = \frac{0 - 0}{h} = 0$

Så jag tolkar det alltså som att de partiella derivatorna enbart är kontinuerliga längs x- och y-axeln, vilket såklart medför att de inte är kontinuerliga i definitionsmängden av f.

Jag tror att jag nu besvarade min egna fråga, detta ser väl rätt ut?

Jag tror det (y)

Tack så jättemycket!

Svara

Visa senaste svar