Flervariabelanalys: cirkel i valfri orientation i R3?

Det enklaste blir att parametrisera cirkeln med vinkeln som parameter. 

Jag tänkte också det, men mer konkret vilka vinklar? Det blir väl två stycken... Mellan cirkelns normalvektor (eller kallas det så? kallas kanske bara så när det gäller plan?) och?

För någon som har läst linjär algebra och har en tendens att övergeneralisera lite, så skulle man (naivt) kunna tänka sig att en polynomekvation $p(x_1,\ldots,x_n)=0$ i $n$ stycken variabler definierar ett $(n-1)$-dimensionellt geometriskt objekt i $\mathbb{R}^n$.

Detta stämmer exempelvis med att $x^2+y^2-1=0$ definerar en cirkel i planet (vilket är ett endimensionellt objekt), och att $x^2+z^2-4=0$ och $x^2+y^2+z^2-9$ definierar en cylinder respektive en sfär i rymden (vilka är exempel på tvådimensionella objekt). Det stämmer också bra med din känsla av att det verkar svårt att beskriva en cirkel i rymden med en polynomekvation.

Problemet är bara att det inte är sant. Om polynomet $p$ råkar vara ett förstagradspolynom (så att vi befinner oss på den linjär algebrans teritorium) stämmer påståendet helt och hållet, men för polynom av högre grad kan man hitta massa motexempel, även om det finns ett litet korn av sanning någonstans i påståendet (vilket är en av flera saker som man utforskar i ämnet algebraisk geometri). Nedan kommer jag att konstruera just ett sådant motexempel som svar på din fråga.

Men låt oss för ett ögonblick fortsätta att övergeneralisera linjär algebra. Om vi skulle vilja beskriva en endimensionell linje i $\mathbb{R}^3$ med linjära ekvationer så vet vi behöver ta till två stycken ekvationer. (En nyttig övning är att exempelvis tänka ut ett system av två linjära ekvationer som beskriver linjen som spänns upp av vektorn $(1,1,3)\in\mathbb{R}^3$.)

Kan vi kanske beskriva en cirkel med hjälp av två ekvationer? Absolut! Börja med att bestämma en punkt $(x_0,y_0,z_0)$ som ska vara cirkelns centrum, och en radie $r>0$. Då vet vi att cirkeln kommer ligga i sfären som ges av ekvationen $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2-r^2=0$. Detta blir vår första ekvation!

Härnäst bestämmer vi vilket plan cirkeln ska ligga i. Säg att vi vill att planet ska ha vektorn $(a,b,c)\neq(0,0,0)$ som normal. Då vet vi att cirkeln kommer uppfylla ekvationen $a(x-x_0)+b(x-y_0)+c(z-z_0)=0$, vilket blir vår andra ekvation.

Lite geometriskt tänkande ger nu att cirkeln med centrum $(x_0,y_0,z_0)$, radie $r$ och normal $(a,b,c)$ precis kommer motsvara lösningsmängden till systemet

$\left\{\begin{matrix}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2-r^2=0\\ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\,.\end{matrix}\right.$

Men okej, nu var ju frågan om vi skulle kunna komma undan med en enda ekvation. Och jodå, det kan vi, och det visar sig att den två ekvationerna som vi kom fram till ovan är en bra början. Tricket nu kommer vara att utnyttja att $\mathbb{R}$ har en väldigt speciell egenskap, nämligen att kvadrater alltid är icke-negativa. Det vill säga: $t^2\geqslant 0$ för alla $t\in\mathbb{R}$. En konsekvens av detta är att för $A,B\in\mathbb{R}$ så gäller det att $A^2+B^2=0$ om och bara om $A=0$ och $B=0$.

Ekvationssystemet som vi kom fram till ovan, och som definierade vår cirkel, är således ekvivalent med (fjärdegrads-)ekvationen

$({(x-x_0)^2}+{(y-y_0)^2}+{(z-z_0)^2}-r^2)^2+({a(x-x_0)}+{b(y-y_0)}+{c(z-z_0)})^2=0\,.$

Det blir verkligen ingen vacker (eller för den delen speciellt användbar) ekvation, men den gör jobbet! ^_^

Testa förresten gärna att stoppa in något val av parametrar $x_0,y_0,z_0,a,b,c\in\mathbb{R}$ och $r>0$, utveckla parenteserna. Går det på något vis att plotta lösningsmängden för att verifiera att det verkligen blir en cirkel? (Jag provade Wolfram Alpha, men den verkar inte klara det.)

Även om det inte har med ursprungsfrågan att göra, så håller jag med Parveln om att det nog är trevligare och mer användbart att parametrisera cirkeln som man är ute efter, alltså att hitta en kurva $\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^3$ som genomlöper alla punkter i cirkeln.

Antag att vi återigen vill ha en cirkeln centrerad i en punkt $\mathbf{p}=(x_0,y_0,z_0)\in\mathbb{R}^3$ med radie $r>0$ i planet genom $\mathbf{p}$ som har $\mathbf{n}=(a,b,c)\in\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}$ som normal.

Idén kommer vara den samma som när vi en gång i tiden (kanske redan i Ma3 på gymnasiet?) lärde oss parametrisa enhetscirkeln i $\mathbb{R}^2$ med $\gamma(t)=(\cos(2\pi\,t),\sin(2\pi\,t))$, eller annorlunda uttryckt: $\gamma(t)=\cos(2\pi\,t)\mathbf{e}_1+\sin(2\pi\,t)\mathbf{e}_2$, där $\mathbf{e}_1=(1,0)$ och $\mathbf{e}_2=(0,1)$.

Mer precist tänker jag mig att vi väljer två ortogonala vektorer $\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3$ med $|\mathbf{v}|=|\mathbf{w}|=r$ som båda två är ortogonala mot vektorn $\mathbf{n}$ [kan man alltid hitta två sådana vektorer?], och sedan låter $\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^3$ vara definierad av $\gamma(t)=\mathbf{p}+\cos(2\pi\, t)\mathbf{v}+\sin(2\pi\,t)\mathbf{w}$.

Förstår du varför detta fungerar? En bra början kan vara att dels rita en figur, och dels fundera på hur man kan parametrisera enhetscirkeln i $xy$-planet (eller kanske $xz$-planet) på det här viset. Vad får du för parametrisering för cirkeln med radien 2, vars centrum ligger i punkten $(1,1,1)$ och vars plan har vektorn $(1,-1,0)$ som normal? Jämför gärna med ekvationen som vi fick fram i föregående inlägg.

Ett alternativt tillvägagångssätt är att ta den vanliga hederliga parametriseringen av enhetscirkeln i, säg, $xy$-planet, och multiplicera med $r$ som skalfaktor, multiplicera med en lämplig rotationsmatris för att ge cirkeln rätt orientering, och sedan addera med vektorn $\mathbf {p}$ för att flytta centrum från origo till $\mathbf {p}$.

Testa gärna detta förfarande för exemplet som som jag föreslog i inlägget ovan, med cirkeln med radien 2, vars centrum ligger i punkten (1,1,1) och vars plan har vektorn (1,−1,0) som normal. Vad kommer du fram till?

oggih skrev:

Men låt oss för ett ögonblick fortsätta att övergeneralisera linjär algebra.

Helt ok för mig (jag älskar det)!

Om vi skulle vilja beskriva en endimensionell linje i $\mathbb{R}^3$ med linjära ekvationer så vet vi behöver ta till två stycken ekvationer.

Ja!

Härnäst bestämmer vi vilket plan cirkeln ska ligga i.

Jajajajaja, skärningen mellan en sfär och ett plan! Tänk att jag inte tänkte på det. Det är ett smidigt sätt att komma undan parametriseringar.

Men okej, nu var ju frågan om vi skulle kunna komma undan med en enda ekvation. Och jodå, det kan vi, och det visar sig att den två ekvationerna som vi kom fram till ovan är en bra början. Tricket nu kommer vara att utnyttja att $\mathbb{R}$ har en väldigt speciell egenskap, nämligen att kvadrater alltid är icke-negativa. Det vill säga: $t^2\geqslant 0$ för alla $t\in\mathbb{R}$. En konsekvens av detta är att för $A,B\in\mathbb{R}$ så gäller det att $A^2+B^2=0$ om och bara om $A=0$ och $B=0$.

Ekvationssystemet som vi kom fram till ovan, och som definierade vår cirkel, är således ekvivalent med (fjärdegrads-)ekvationen

$({(x-x_0)^2}+{(y-y_0)^2}+{(z-z_0)^2}-r^2)^2+({a(x-x_0)}+{b(y-y_0)}+{c(z-z_0)})^2=0\,.$

Det blir verkligen ingen vacker (eller för den delen speciellt användbar) ekvation, men den gör jobbet! ^_^

Snyggt

Testa förresten gärna att stoppa in något val av parametrar $x_0,y_0,z_0,a,b,c\in\mathbb{R}$ och $r>0$, utveckla parenteserna. Går det på något vis att plotta lösningsmängden för att verifiera att det verkligen blir en cirkel? (Jag provade Wolfram Alpha, men den verkar inte klara det.)

Nähä? Jaja, den fungerar i alla fall i våra huvuden!

Qetsiyah skrev:

Nähä? Jaja, den fungerar i alla fall i våra huvuden!

Så är det ofta! Det finns mycket matematik som i princip skulle kunna gå att göra med datorns hjälp, men där de algoritmer vi har i praktiken fungerar så pass dåligt att det är mer fruktbart att arbeta i våra huvuden (och med papper och penna).

Jag provade förresten även att plotta med kommandot för implicita parametriseringar i 3D i Maple, men fick inte fram något vettigt där heller. Om jag skulle gissa är problemet nog att de här programvarorna är anpassade för att plotta ytor, och att våra cirklar på något vis blir alldeles för "små". En vacker jag ska jag försöka läsa på mer om hur implicita plottar fungerar, för det är ganska användbart, och just nu har jag verkligen noll koll på hur det går till rent praktiskt.

Edit: Tog bort måtteoretiskt svammel. Se Qetsiyahs kommentar nedan.

oggih skrev:

$\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^3$

Förresten, spelar det ens roll vilket intervall man väljer bara det inte är en enda punkt? Eftersom den går runt och runt kan vi väl tillåta alla R?

$\gamma(t)=\cos(2\pi\,t)\mathbf{e}_1+\sin(2\pi\,t)\mathbf{e}_2$, där $\mathbf{e}_1=(1,0)$ och $\mathbf{e}_2=(0,1)$.

Här behöver jag andningspaus. Ah, de är vektorer... Ser man på! $\gamma : \mathrm{ℝ}\to {\mathrm{ℝ}}^2$

Mer precist tänker jag mig att vi väljer två ortogonala vektorer $\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3$ med $|\mathbf{v}|=|\mathbf{w}|=r$ som båda två är ortogonala mot vektorn $\mathbf{n}$ [kan man alltid hitta två sådana vektorer?], och sedan låter $\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^3$ vara definierad av $\gamma(t)=\mathbf{p}+\cos(2\pi\, t)\mathbf{v}+\sin(2\pi\,t)\mathbf{w}$.

Oj, det börjar bli hett i rummet... Men vi har väl redan alla ingredienser för en cirkel i R3 utan att ens definiera en funktion $\gamma$? Det räcker dessutom med en vektor? 1) den ska vara vinkelrät mot normalvektorn 2) dess längd är r 3) mittpunkten bestämd. Cirkeln utgörs då väl av mängden av v som uppfyller dessa krav?

Förstår du varför detta fungerar? En bra början kan vara att dels rita en figur, och dels fundera på hur man kan parametrisera enhetscirkeln i $xy$-planet (eller kanske $xz$-planet) på det här viset. Vad får du för parametrisering för cirkeln med radien 2, vars centrum ligger i punkten $(1,1,1)$ och vars plan har vektorn $(1,-1,0)$ som normal? Jämför gärna med ekvationen som vi fick fram i föregående inlägg.

Jag har sett animationer där det är två vinkelräta vektorer som oscillerar (med amplitud r) i en riktning och att summan av de blir en cirkel. Jag försöker tänka mig animationen då dessa två vektorer inte är i R2... Kan man ta tre ortogonala basvektorer (1,0,0), (0,1,0) och (0, 0, 1) och låta de oscillera, istället för två med utsträckning i alla riktningar?

Gäller inte $\sqrt{{\left|v\right|}^2+{\left|w\right|}^2}=r$? 

oggih skrev:

Qetsiyah skrev:

Nähä? Jaja, den fungerar i alla fall i våra huvuden!

Så är det ofta! Det finns mycket matematik som i princip skulle kunna gå att göra med datorns hjälp, men där de algoritmer vi har i praktiken fungerar så pass dåligt att det är mer fruktbart att arbeta i våra huvuden (och med papper och penna).

Jag provade förresten även att plotta med kommandot för implicita parametriseringar i 3D i Maple, men fick inte fram något vettigt där heller. Om jag skulle gissa är problemet nog att de här programvarorna är anpassade för att plotta ytor, och att våra cirklar på något vis blir alldeles för små [de har måttet 0 i 3D]. En vacker jag ska jag försöka läsa på mer om hur implicita plottar fungerar, för det är ganska användbart, och just nu har jag verkligen noll koll på hur det går till rent praktiskt.

Va vad konstigt. Om jag hade matlab (och kunde) så skulle jag provat det.

Men kurvor har väl även måttet noll i R2?

Qetsiyah skrev:

Men kurvor har väl även måttet noll i R2?

Sant. Och även ytor har måttet 0 i 3D, så jag pratade helt klart i nattmössan där.

Qetsiyah skrev:

Förresten, spelar det ens roll vilket intervall man väljer bara det inte är en enda punkt? Eftersom den går runt och runt kan vi väl tillåta alla R?

Det stämmer! Man kan tänka sig parametriseringar där domänen är ett valfritt kompakt intervall, valfritt öppet intervall eller hela $\mathbb{R}$. Vilket man väljer beror lite på vad det är man försöker parametrisera för något, och vad det är man ska använda parametriseringen till. Här tyckte jag det kändes mest elegant att välja en parametrisering som inte överlappar sig själv (förutom i ändpunkterna).

Här behöver jag andningspaus. Ah, de är vektorer... Ser man på! $\gamma : \mathrm{ℝ}\to {\mathrm{ℝ}}^2$

Helt rätt tänkt! :)

Oj, det börjar bli hett i rummet... Men vi har väl redan alla ingredienser för en cirkel i R3 utan att ens definiera en funktion $\gamma$? Det räcker dessutom med en vektor? 1) den ska vara vinkelrät mot normalvektorn 2) dess längd är r 3) mittpunkten bestämd. Cirkeln utgörs då väl av mängden av v som uppfyller dessa krav?

Exakt. Cirkeln vi diskuterade skulle kunna beskrivas av mängden

$C=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3:\mathbf{x}\perp \mathbf{n}\:\:\text{och}\:\:|\mathbf{x}-\mathbf{p}|=r\}\,,$

men ofta vill man ha en lite mer "handfast" beskrivning av sitt geometriska objekt. Antingen i form av en parametrisering, eller i form av ett ekvationssystem (helst av polynomekvationer) som det geometriska objektet utgör lösningsmängden till. Om man tänker på cireln utifrån dina kriterier är steget inte långt till ekvationssystemet som vi kom fram till ovan! :)

Jag har sett animationer där det är två vinkelräta vektorer som oscillerar (med amplitud r) i en riktning och att summan av de blir en cirkel. Jag försöker tänka mig animationen då dessa två vektorer inte är i R2... Kan man ta tre ortogonala basvektorer (1,0,0), (0,1,0) och (0, 0, 1) och låta de oscillera, istället för två med utsträckning i alla riktningar?

Är inte helt med på vad du menar här.

Gäller inte $\sqrt{{\left|v\right|}^2+{\left|w\right|}^2}=r$? 

Om $|\mathbf{v}|=|\mathbf{w}|=r$ så stämmer det inte (eller hur?). Däremot gäller det att för varje punkt $\mathbf{x}=(x,y)$ på en cirkel i planet, centrerad i origo med radie $r$, att $\sqrt{x^2+y^2}=r$.

oggih skrev:

Qetsiyah skrev:

Men kurvor har väl även måttet noll i R2?

Sant. Och även ytor har måttet 0 i 3D, så jag pratade helt klart i nattmössan dä

Så pass. Okej

Glöm det jag sa, jag hade lite problem att visualisera, jag är inte mycket bättre än wolfram alpha haha!

Jo, jag håller med.

Jag vill även tillägga att jag skrev ekvation för att jag inte hade tänkt på att man kunde paramterisera, inte för att göra det svårt för oss haha. Men visst blev det intressant ändå.