Flervariabelanalys: checka mitt bevis för att kruvintegralen är noll för varje kruva som...

Hej, betrakta $F : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

$F (x, y, z) = (x \cos z, y \sin z, z)$

Bevisa att $\oint_{γ} F \cdot d r = 0 \forall γ ∥ x y - p l a n e t, s l u t e n$

Kurvan är såhär: $γ = \{\begin{cases} x = f (t) \\ y = g (t) \\ z = C \end{cases}$ , $t \in [a, b], γ (a) = γ (b)$

Kurvintegralen blir såhär, och förenklas

$\int_{γ} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (γ (t)) γ' (t) d t = {[f (t) f' (t) \cos (C) + g (t) g' (t) \sin (C)]}_{t = a}^{b} = 0 ?$

f' och g' kanske inte är definierade i a=b? Vad händer då?

Ditt näst sista steg är inte rätt. Du kan inte sätta in punkterna direkt i integranden, du måste hitta en primitiv funktion till uttrycket.

Oj herregud, jag har inte min räknebok tillgänglig men jag räknade mycket riktigt aldrig ut primitiven. Men jag ser inget sätt att integrera det...

Uttrycket kanske ser bekant ut från kedjeregeln. Antingen kan du direkt se primitiven, eller dela upp integralen i två delar och göra ett variabelbyte.

Ett annat sätt att lösa uppgiften på är att inse att fältet är definierat och C1 i hela R3 definitionsmängden är enkelt sammanhängande. Alltså räcker det med att visa rot F = 0.

Svara

Visa senaste svar