flervariabelanalys: använda Stokes sats

flippainte skrev:

HUr använder man Stokes sats på c) ? 

Man ska ju använda divergenssatsen till den uppgiften! Osäker om det ö.h.t går med Stokes sats, och om det går ska du inte behöva kunna det till tentan! Lycka till om du skriver tentan nu i maj på KTH med Roy som examinator.

Aha men hur vet man när man ska använda divergenssatsen eller stokes sats? Är så rädd för roys tenta...

De flesta förenklingar uppstår när man deriverar fältet på något sätt.

1. Gauss sats handlar om att omvandla flödet ut genom ytan till en sluten volym till en volymsintegral. Deriveringen (förenklingen) är en divergensberäkning av fältet, $\nabla \cdot \mathbf{F}$.
2. Stokes sats handlar om att omvandla en sluten kurvintegral till ett flöde genom den yta kurvan innesluter. Deriveringen (förenklingen) handlar den här gången om rotationen $\nabla \times \mathbf{F}$

Att satserna är förvillande lika beror på att de faktiskt är samma sak, båda är specialfall av en mer generell variant av Stokes sats. Det går ut på att öka dimensionen av integrationsområdet (t.ex linjeintegral -> ytintegral eller ytintegral -> volymsintegral) samtidigt som du "deriverar" fältet på något sätt. Ett annat specialfall du kanske redan stött på är Greens formel.

I den här uppgiften har du ett flöde ut genom en sluten begränsningsyta som innesluter en volym. Alltså verkar fall 1. rimligast att använda, från ytintgral till volymsintegral samtidigt som du deriverar (förenklar).