Flervariabelanalys

Studerar man bilden ser det ut som att man kan låta $y$ variera mellan -1 och 1.

Och för ett givet y verkar x variera mellan?

1 och -1? 

Nää, om y=-1 ska ju x variera från 0 till 0

Om y=-0.5 ska x variera från ungefär -0.75 till 0.87 (se grafen)

x ska alltså variera mellan två gränser som beror på var vi är på y-axeln.

Jahaa ja jag förstår, men vilken funktion ska vi ha i integralen är det f(x,y) = xy+1 eller (y^2 -1) minus roten ur (1-y^2) 

Som jag tolkar din beskrivning söker man integralen

$\displaystyle \iint_D(xy+1)\,dxdy$

(Utnyttja gärna symmetri om du kan finna någon :)

Hej Daniel, ja jag tolkar det på samma sätt, men skulle du kunna förklara hur du tänker angående integralgränserna? Borde det inte vara att både x och y går från -1 till 1, det kan läsas av från bilden.

Eller bör inte integralgränserna för x vara dom som står på första raden, alltså mängden?

Tanken med gränserna är att man ska hålla sig till det blå området.

Om vi låter y gå från -1 till 1 måste vi för varje y-värde sätta gränser på x så att vi inte lämnar det blå området.

För y=0 kan vi låta x gå från -1 till 1 och fortfarande befinna oss innanför det blå området.

Men när y=0.5 måste vi inskränka x

På det hela taget gäller att $-1+y^2<><>$

Annars hamnar vi  utanför det blå området.

Vad gäller integralen kan det också vara bra att inse att termen $xy$ är symmetrisk över x-axeln och integralen blir därför

$\displaystyle  \iint_D (xy+1)\,dxdy=\iint_D\,dxdy=areahalvcirkel+areaparabel$

Okej så man ska endast räkna ut arean för halvcirkeln och parabeln och sedan addera dem? Är det värdet på integralen och därmed volymen?

Nja, det är värdet av integralen

$\iint_D(xy+1)\, dxdy$

Nu visar det sig att funktionen aldrig ger ett värde <0 så funktionsytan kan tänkas vara "locket" på en volym över D. Men man får vara lite försiktig med att gå direkt från integralen till att kalla det en volym av något.

Funktionsytan kan ju lika gärna delvis ligga under xy-planet  och negativa bidrag minskar integralens värde, "volymen" beräknas då med absolutbelopp. I just det här fallet är integrandens minsta värde 1/2>0, men det är ju mer tur än skicklighet om man inte bevisar och motiverar.

Ja, men vi ska ju beräkna volymen vilket är värdet av integralen som du tecknade?

Värdet av integralen är $\frac{\pi}{2}+\frac43$.

Vad det är för volym det är tänkt att man ska beräkna är oklart, men kanske volymen av den kropp som i bildas i rummet då man låter en funktionsyta $z=f(x,y)$ bilda ett "tak" över $D$ i xy-planet.

Det kanske ingår en bild eller något i problemformuleringen?

På parabelns area får jag fram det till 2/3, hur gick du tillväga?

Om du visar dina försök kan vi säkert klura ut var det gick fel.

Du har slarvat lite med bråkräkningen, den integral du ställt upp har värdet -4/3

Tänk också på att den undre gränsen kommer in med minustecken

För parabeldelen blir det alltså

$\displaystyle \int_{y=-1}^1\int_{x=-1+y^2}^0\,dxdy=\int_{y=-1}^1(1-y^2)\,dxydy=\frac43$

D4NIEL skrev:

Du har slarvat lite med bråkräkningen, den integral du ställt upp har värdet -4/3

Tänk också på att den undre gränsen kommer in med minustecken

För parabeldelen blir det alltså

$\displaystyle \int_{y=-1}^1\int_{x=-1+y^2}^0\,dxdy=\int_{y=-1}^1(1-y^2)\,dxydy=\frac43$

 

Ska det inte vara y^2 -1 istället? 

Nej, när vi integrerar med avseende på x får vi

$\displaystyle[x]_{-1+y^2}^{0}=0-(-1+y^2)=1-y^2$

Tack så mycket jag förstår!

D4NIEL skrev:

Tanken med gränserna är att man ska hålla sig till det blå området.

Om vi låter y gå från -1 till 1 måste vi för varje y-värde sätta gränser på x så att vi inte lämnar det blå området.

För y=0 kan vi låta x gå från -1 till 1 och fortfarande befinna oss innanför det blå området.

Men när y=0.5 måste vi inskränka x

På det hela taget gäller att $-1+y^2<><>$

Annars hamnar vi  utanför det blå området.

Vad gäller integralen kan det också vara bra att inse att termen $xy$ är symmetrisk över x-axeln och integralen blir därför

$\displaystyle  \iint_D (xy+1)\,dxdy=\iint_D\,dxdy=areahalvcirkel+areaparabel$

Kan man inte räkna integralen utan att dela det i två olika figurer alltså halvcirkel och parabel?

Jovisst, det är bara att räkna på, eventuellt kan integranden med rottecknet ge lite krångel på vägen och arean av en halvcirkel känner man ju till sedan tidigare.

$\displaystyle \int_{y=-1}^1\int_{x=-1+y^2}^{\sqrt{1-y^2}}\,dxdy=\frac\pi2+\frac43$