Flervariabelanalys

Välkommen till Pluggakuten! Du behöver inte veta om ett värde är ett lokalt eller globalt minimum – uppgiften frågar bara om lokala extrempunkter. 

Det är inte säkert att en funktion har ett lokalt eller globalt maximum. Extremvärden kan finnas på tre typer av ställen: 

1. Där derivatan/partiella derivatorna är noll
2. Där derivatan/partiella derivatorna är odefinierad(e)
3. Randpunkter

Om du inte hittar något lokalt maximum i någon av dessa kategorier, har funktionen inget lokalt maximum. Tänk exempelvis på funktionen $y=x^2$ – den har ett lokalt (och globalt) minimum i origo, men inget lokalt maximum någonstans. :)

f har då en lokal extrempunkt vid punkten (-1/4,1/2)? Och det är -1/16 väl eller är det minsta värdet?

Jag gjorde såhär: 

Räknade ut partiella derivator :

fx= 3y+6x, fy= 3y^2+3x, fxx= 6, fyy= 6y fxy= 3

Fann kritiska punkter: (0,0) och (-1/4,1/2) 

Utifrån kritiska punkter kan man väl se att (0,0) är en sadelpunkt? Och att (-1/4,1/2) inte är det då den inte är lika med (0.0)? 

Sedan använde jag formeln : D = fxx*fyy-fxy^2 som blir 9. När D > 0, fxx > 0, är f(a,b) lokalt minimum. 

Sedan stoppade jag in punkten (-1/4,1/2)  i y^3+3xy+3x^2 och fick -1/16.

Det ser bra ut! Jag är inte helt hundra på formeln för D som du använder, men det finns olika metoder. :)

Okej, men är då -1/16 det minsta värdet? Eller är det bara den lokala minimum på punkten (-1/4,1/2)? Förstår inte skillnaden och om det inte är minsta värdet hur far man tag på det och likaså största värdet? Jag hittar bara -1/16 och inget annat värde för (0,0) bara ger 0 som svar och det var också en sadelpunkt.

Jag kollade på en youtube video och då använde de D formeln. Men kan ha fel. 

emd1010 skrev:

Okej, men är då -1/16 det minsta värdet? Eller är det bara den lokala minimum på punkten (-1/4,1/2)? Förstår inte skillnaden och om det inte är minsta värdet hur far man tag på det och likaså största värdet? Jag hittar bara -1/16 och inget annat värde för (0,0) bara ger 0 som svar och det var också en sadelpunkt.

Det är ett lokalt minimivärde. Huruvida det är det globala minimivärdet är svårare att avgöra. I detta fall kan vi genom att undersöka exempelvis vad som händer då $x=0$ (vi får funktionen $f(0,y)=y^3$) konstatera att funktionen varken kan ha ett största eller minsta värde. :)

Jag kollade på en youtube video och då använde de D formeln. Men kan ha fel. 

De har säkert rätt! :)

Och för att kolla största eller minsta värde evaluerar man lim i +-oändligheten? och då fås +-oändligheten som svar och därför antar funktionen inga största respektive minsta värden? 

Ja, ±oändlighet, samt andra ställen där vi behöver använda gränsvärden, exempelvis vid asymptoter. :)

Hur vet man att funktionen inte kan anta ett största respektive minsta värde? Eller hur fick man fram det? Jag tog bara lim+-infinity och fick +infinity och-infinity som svar. Är det mer man ska göra för den delen av frågan?

emd1010 skrev:

Hur vet man att funktionen inte kan anta ett största respektive minsta värde? Eller hur fick man fram det? Jag tog bara lim+-infinity och fick +infinity och-infinity som svar. Är det mer man ska göra för den delen av frågan?

Det finns två frågor i denna uppgift. Först tar du reda på ifall någon av de punkterna är en lokal extrempunkt. Vi får att det är ett lokalt min. Sedan vill de veta globalt. Vi får att funktionen går mot oändligheten och minus-oändligheten, vad innebär det? Jo att den saknar ett största och minsta värde för det fortsätter i all evighet.

Och visst är det så att funktionen har en sadelpunkt när (x,y)=(0,0) som det är i detta fall?

emd1010 skrev:

Och visst är det så att funktionen har en sadelpunkt när (x,y)=(0,0) som det är i detta fall?

Just den punkten är inte en del av frågan. Men ja det kan man kolla på samma sätt som du kollade att den andra punkten var ett lokalt minimum via exempelvis hessematris.

Jag tog bara reda på kritiska punkter och fick då att (-1,1) har kritiska punkter (0,0) 

Är det inte så att om (x,y)=(0,0) är det en sadelpunkt? Ska jag bara lämna den delen eller måste man inte motivera varför det inte finns en lokalt maximum och det är pga att vi har fått en sadelpunkt?

emd1010 skrev:

Är det inte så att om (x,y)=(0,0) är det en sadelpunkt? Ska jag bara lämna den delen eller måste man inte motivera varför det inte finns en lokalt maximum och det är pga att vi har fått en sadelpunkt?

Att derivatan i en punkt är 0 innebär att det är en kritisk punkt. Däremot säger det ingenting om att det är ett max,min eller sadelpunkt. En sadelpunkt innebär att gradienten i den punkten är noll men att det varken är ett lokalt max eller lokalt min. Du använde en formel för att ta reda på att den ena punkten var ett lokalt minimum. Samma formell kan användas för att visa att (0,0) är en sadelpunkt.

Det jag gjorde för att ta reda på att (-1/4,1/2) var en lokal minimum var genom formeln: D=fxx*fyy-fxy^2 och evaluerade att D>0 och fxx >0 och fick få att punkten var ett lokalt minimum. Men tog bara kritiska punkten av 3y+6x=0 och 3y^2+3x=0 och fick (0,0) och (-1/4,1/2). (-1/4,1/2) är inte lika med (0,0) därav antingen lokalt max eller min, (0,0)=(0,0) därav sadelpunkt. Är det rätt motiverat? 

emd1010 skrev:

Det jag gjorde för att ta reda på att (-1/4,1/2) var en lokal minimum var genom formeln: D=fxx*fyy-fxy^2 och evaluerade att D>0 och fxx >0 och fick få att punkten var ett lokalt minimum. Men tog bara kritiska punkten av 3y+6x=0 och 3y^2+3x=0 och fick (0,0) och (-1/4,1/2). (-1/4,1/2) är inte lika med (0,0) därav antingen lokalt max eller min, (0,0)=(0,0) därav sadelpunkt. Är det rätt motiverat? 

Nej. Titta på din motivering för lokalt minimum, då gäller D>0. Vad gäller för D när det kommer till en sadelpunkt?

Jaha det är D<0, då är det en sadelpunkt.