flervariabelanalys

Hur har du försökt lösa uppgiften? Vi hjälper dig gärna, men vi behöver veta vad du gjort hittills för att kunna hjälpa dig. Kika gärna här för en liten påminnelse om hur du kan börja leta. :) 

Jag vet inte hur man ska börja med denna. I envariabelanalys brukade man derivera och sätta den lika med noll. Hittar nollställen och sedan sätter in de i ett teckendiagram. 

Ska man nu derivera med avseende på x och y och sedan sätta det lika med noll? Och göra teckendiagram utifrån nollställena? 

Om funktionen $f(x)$ har en lokal extrempunkt måste de partiella derivatorna vara 0 i punkten. Man säger att $\nabla f=0$ (stationär punkt) är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för ett lokalt extremvärde.

Börja därför med att undersöka om $\nabla f=0$ för någon av de två punkterna.

Om någon eller kanske båda punkterna uppfyller $\nabla f=0$ går du vidare med att fastställa vilken typ av stationär punkt du hittat. T.e.x  genom att använda den kvadratiska formen.

Jag fattar inte ens frågan, när man försöker hitta kritiska punkter tar man funktionen =0. Och jag gjorde det jag fick att x=0 och y=0. Och då fick jag att D(0,0)= 6*0-(3)^2=-9 < 0. Punkten är alltså en sadelpunkt och har inte lokalt max eller lokalt min. Men frågan frågar ifall den har det i (-1,1) och (-1/4,1/2) ska man alltså inte göra det första jag skrev då? Och helt enkelt anta att x=-1 och y=1 för första punkten? Och då ta D(-1,1)=6*6(1)-3^2= 27 > 0 som har lokalt max och min?

Den första punkten (-1,1) är inte en stationär punkt

$\nabla f|_{(-1,1)}=(-3,0)\neq (0,0)$

Den andra punkten är en stationär punkt  och kan därför utgöra en lokal extrempunkt.

$\nabla f|_{(-1/4,1/2)}= (0,0)$

Hur fick du (-3,0)?

$\nabla f=(f^\prime_x, f^\prime_y)=(6 x + 3 y, 3 x + 3 y^2)$

$\nabla f(-1,1)=(6\cdot(-1)+3\cdot(1), 3\cdot(-1)+3\cdot (1)^2)=(-3,0)$

Jaha, så man ska inte ens evaluera punkten (0,0) någon gång i frågan? Då dess kritiska punkt är (0,0)?

Tja, det skadar väl inte att vara noggrann och undersöka alla stationära punkter du hittat.

Men om vi ska läsa frågan ordagrant ingår det inte att lösa ekvationssystemet $\nabla f=0$, man är bara intresserad av att klassificera två punkter.

Vidare kommer du förhoppningsvis fram till att den dominerande termen $y^3$ kan anta hur stora negativa- eller positiva värden som helst och då spelar det ingen roll vilka ändliga värden lokala extrempunkter har.

Är stationär punkt och sadelpunkt samma sak?

Nej, stationär punkt betyder bara att $\nabla f=0$. Varje lokal extrempunkt är en stationär punkt.

Vi kan inte med bara den informationen avgöra om det är en min-, max eller sadelpunkt.

Hur gör man sen när man bestämmer om (-1/4,1/2) är min/Max. Deriverar man en gång till och kollar om andraderivatan blir större/ mindre än noll som i envariabelanalys?

Ja, ungefär, men man måste ta hänsyn till förändringen i alla tänkbara riktningar, inte bara i en riktning som i fallet med en variabel.

Det finns olika metoder, de flesta bygger på att man gör en Taylorutveckling kring punkten och studerar derivatorna på olika sätt.

flippainte verkar använda metoden med Hessianen så jag tänkte redovisa den här. Om du lärt dig en annan metod, t.ex. den snarlika metoden med kvadratiska former, går det naturligtvis lika bra att fråga om den.

Man kan ställa upp andraderivatorna till funktionen $f$ i ett schema (matris) så här:

$\mathrm{Hess} \ f(x,y)|_{(-1/4,1/2)} = \begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2f}{\partial y \partial x} &  \frac{\partial^2f}{\partial y^2}\end{pmatrix}|_{(-1/4,1/2)}=\left(\begin{array}{cc}6 & 3 \\3 & 3 \end{array}\right)$

Nu gäller följande:

Om $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y})^2<>$ så har vi en sadelpunkt.

Om $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y})^2>0$ har vi antingen en min- eller en maxpunkt.

Om $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}<>$ och $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}<>$ har vi en maxpunkt

Om $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0$ och $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}>0$ har vi en minpunkt

I vårt fall är determinanten $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y})^2=9>0$. Vi har antingen en max- eller minpunkt

Vidare är $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6>0$ och $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=3>0$. Vi har alltså funnit att den stationära punkten $(-1/4,1/2)$ är en lokal extrempunkt, närmare bestämt ett  lokalt minimum.

Fick (-1/4,1/2) som lokal minimumpunkt och -1/16 eller -0,0625 som minsta värde. Största värde finns ej. Är det korrekt?

Kan ett lokalt minimum bara ge ett minsta värde och ett lokalt maximum bara ge ett största värde?

Lokala extrempunkter, t.ex. ett lokalt minimum ger bara en lokal information.

Med "största värde eller minsta värde" avser man förmodligen globalt största- eller minsta värde.

Eftersom den dominerande termen $y^3$ kan anta godtyckligt stora tal, såväl negativa som positiva, saknar $f(x,y)$ något värde som kan anses vara det största eller minsta. T.ex.

$\displaystyle \lim_{y\to-\infty}f(0,y)=\lim_{y\to-\infty}y^3\to-\infty$

Ska man skriva att -1/16 är det lokala minimivärdet vid punkten (-1/4,1/2) och f(x,y) saknar största/minsta värde pga (motivering)  som svar då?

Den har ingen lokal maximumpunkt också i svaret.