Flervariabelanalys
Hej, jag studerar flervariabelanalys för tillfället och försöker lösa denna uppgift. Jag har svårt att veta var jag ska börja och vilka metoder jag ska använda mig av. Förstår inte heller varför man ska ha variabelbyte. Hade någon velat ge mig en push i rätt riktning, en hint eller förklara vad jag ska undersöka?
Tack på förhand
Hur ser diffekvationen ut om du gör variabelbytet och förenklar?
Dr. G skrev:Hur ser diffekvationen ut om du gör variabelbytet och förenklar?
Ja om jag ändå hade svaret på det... Nä men skämt åsido: Det jag inte förstår är om jag ska göra bytet så att det blir f(v, u+ax) eller bara sätta in variablerna så att det blir f(v, -ax+y)? Förstår nog inte riktigt hur du menar annars
Kolla upp hur kedjeregeln ser ut i flera variabler! Använd den för att beräkna df/dx och df/dy. Förhoppningsvis kommer du då istället få en differentialekvation som innehåller df/dv och/eller df/du, men att den kommer vara mycket lättare att lösa!
Hondel skrev:Kolla upp hur kedjeregeln ser ut i flera variabler! Använd den för att beräkna df/dx och df/dy. Förhoppningsvis kommer du då istället få en differentialekvation som innehåller df/dv och/eller df/du, men att den kommer vara mycket lättare att lösa!
Ja, jag får då att:
df/dx=(-a*df/du)+df/dv
df/dy=df/du
Och att df/dx+2*df/dy=0 kan skrivas om som (-a*df/du)+df/dv+ 2*df/du=0
Hur går jag sedan vidare härifrån?
Du kan skriva det som df/dv + (2-a)df/du=0. I uppgiften står det ”för något lämpligt värde på a”. Kan du se något värde på a som gör den ekvationen enklare?
Hondel skrev:Du kan skriva det som df/dv + (2-a)df/du=0. I uppgiften står det ”för något lämpligt värde på a”. Kan du se något värde på a som gör den ekvationen enklare?
Ja, självfallet a=2 så att jag får df/dv=0.
Kanon, och vad är nu lösningen på den ekvationen?
Hondel skrev:Kanon, och vad är nu lösningen på den ekvationen?
Det är här jag tycker det blir svårt att förstå. Uppgiften förväntar sig att jag ska svara i f(x,y). Så hur "översätter" jag det tillbaka till den formen?
Börja bara med att lösa för variablerna u och v och glöm för stunden att det finns några variabler x och y. Om (partiella) derivatan av en funktion med avseende på v är 0, hur ser då den funktionen ut?
Då tänker jag att den inte innehåller några v. Men den innehåller troligen u som räknas som "konstanter" vid derivering map v, och därmed försvinner vid derivering.
Exakt, så vi kan alltså säga att f(u,v)=g(u), och om vi då kommer tillbaka till x och y kan vi säga att f(x,y)=g(-2x+y)
Hondel skrev:Exakt, så vi kan alltså säga att f(u,v)=g(u), och om vi då kommer tillbaka till x och y kan vi säga att f(x,y)=g(-2x+y)
Okej, men hur kommer det sig att man byter ut u,v mot x,y i f(u,v) men att man i g(u) istället byter ut u mot -2x+y? Borde det inte vara att f(u,v)=g(u) blir f(-2x+y, v)=g(-2x,y)?
Nej, g(u) skulle exempelvis kunna vara u^2+4, eller exp(u). Och om du så ersätter u med -2x + y blir det alltså (-2x+y)^2+4 eller exp(-2x+y). Men om du skriver en funktion g(-2x,y) så är de två exemplen inkluderade, men även funktioner som exempelvis (-2x)^2+y
Hondel skrev:Nej, g(u) skulle exempelvis kunna vara u^2+4, eller exp(u). Och om du så ersätter u med -2x + y blir det alltså (-2x+y)^2+4 eller exp(-2x+y). Men om du skriver en funktion g(-2x,y) så är de två exemplen inkluderade, men även funktioner som exempelvis (-2x)^2+y
Okej, behöver sätta mig och verkligen kolla igenom allt detta, men det börjar klarna mer och mer. Stort tack för din hjälp Hondel, uppskatts!
