Flervariabel, variabelbyte etc

Testa pussla lite med $u^2$, $uv$, och $v^2$.

Jag skrev lite fel.

Jag började med att ta reda på x och y uttryckt i u och v.

Därefter kan man sätta in dessa i funktionen.

Har jag tänkt rätt?

Så kan du göra.

a) med variabel byttet $$\begin{gathered} x=\frac{u+v}{2} \\ y=\frac{u-v}{2} \end{gathered}$$får vi $$\begin{gathered} 3{\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2+4\left(\frac{u+v}{2}\right)\left(\frac{u-v}{2}\right)+3{\left(\frac{u-v}{2}\right)}^2 \\ =3\left(\frac{u^2+2uv+v^2}{4}\right)+u^2-v^2+3\left(\frac{u^2-2uv+v^2}{4}\right) \\ =u^2\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+1\right)+v^2\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1\right)=\frac{5}{2}{u}^2+\frac{1}{2}{v}^2 \end{gathered}$$

d) ifall vi tar samma variabel byte får vi $z=\frac{u+v}{2}+3\left(\frac{u-v}{2}\right)=u\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)+v\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)=2u-v$  sen ska vi lösa $\frac{5}{2}{u}^2+\frac{1}{2}{v}^2=2u-v$

 detta kan vi göra med kvadrat komplettering. $\frac{5}{2}{u}^2-2u+\frac{1}{2}{v}^2+v=0$, skulle göra komplettering såhär

$$\begin{gathered} \frac{5}{2}{\left(u+a\right)}^2=\frac{5}{2}{u}^2+5ua+\frac{5}{2}{a}^2, \frac{5}{2}{u}^2+5ua=\frac{5}{2}{u}^2-2u\Rightarrow a=-\frac{2}{5} \\ \frac{1}{2}{\left(v+b\right)}^2=\frac{1}{2}{v}^2+vb+\frac{1}{2}{b}^2, \frac{1}{2}{v}^2+vb=\frac{1}{2}{v}^2+v\Rightarrow b=1 \end{gathered}$$ så vi får $$\begin{gathered} \frac{5}{2}{\left(u-\frac{2}{5}\right)}^2-\frac{2}{5}+\frac{1}{2}{\left(v+1\right)}^2-\frac{1}{2}=0 \\ \frac{5}{2}{\left(u-\frac{2}{5}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(v+1\right)}^2=\frac{3}{5} \end{gathered}$$

haru koll på hur man parametriserar detta?

Är du med på att din ekvation beskriver en ellips? 

emmynoether skrev:

Är du med på att din ekvation beskriver en ellips? 

Ja

Kallaskull skrev:

a) med variabel byttet $$\begin{gathered} x=\frac{u+v}{2} \\ y=\frac{u-v}{2} \end{gathered}$$får vi $$\begin{gathered} 3{\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2+4\left(\frac{u+v}{2}\right)\left(\frac{u-v}{2}\right)+3{\left(\frac{u-v}{2}\right)}^2 \\ =3\left(\frac{u^2+2uv+v^2}{4}\right)+u^2-v^2+3\left(\frac{u^2-2uv+v^2}{4}\right) \\ =u^2\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+1\right)+v^2\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1\right)=\frac{5}{2}{u}^2+\frac{1}{2}{v}^2 \end{gathered}$$

d) ifall vi tar samma variabel byte får vi $z=\frac{u+v}{2}+3\left(\frac{u-v}{2}\right)=u\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)+v\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)=2u-v$  sen ska vi lösa $\frac{5}{2}{u}^2+\frac{1}{2}{v}^2=2u-v$

 detta kan vi göra med kvadrat komplettering. $\frac{5}{2}{u}^2-2u+\frac{1}{2}{v}^2+v=0$, skulle göra komplettering såhär

$$\begin{gathered} \frac{5}{2}{\left(u+a\right)}^2=\frac{5}{2}{u}^2+5ua+\frac{5}{2}{a}^2, \frac{5}{2}{u}^2+5ua=\frac{5}{2}{u}^2-2u\Rightarrow a=-\frac{2}{5} \\ \frac{1}{2}{\left(v+b\right)}^2=\frac{1}{2}{v}^2+vb+\frac{1}{2}{b}^2, \frac{1}{2}{v}^2+vb=\frac{1}{2}{v}^2+v\Rightarrow b=1 \end{gathered}$$ så vi får $$\begin{gathered} \frac{5}{2}{\left(u-\frac{2}{5}\right)}^2-\frac{2}{5}+\frac{1}{2}{\left(v+1\right)}^2-\frac{1}{2}=0 \\ \frac{5}{2}{\left(u-\frac{2}{5}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(v+1\right)}^2=\frac{3}{5} \end{gathered}$$

haru koll på hur man parametriserar detta?

Jag fattar allt du gjorde på a)

På d) fattar jag också ända fram till parametriseringen.

Jag är inte så jättebra på parametrisera, men jag tror att man ska uttrycka ekvationen på formen r(t)=(u(t),v(t))

så om vi sätter u(t)=t så kan vi ta reda på v(t) och skriva om ekvationen. Har jag tänkt rätt?

Ish. Ifall vi skulle parametrisera en cirkel t.ex $x^2+y^2=1$ skulle vi göra det med ${\cos }^2\left(t\right)+{\sin }^2\left(t\right)=1$ så kommer parametrisera ellipsen med variabeln t(vinkeln)

Vi vill ha så $\sqrt{\frac{5}{2}{\left(u-\frac{2}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{5}}\cos \left(t\right)$därav löser jag ut 'u'

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{5}{2}{\left(u-\frac{2}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{5}}\cos \left(t\right)\to \sqrt{\frac{5}{2}}\left(u-\frac{2}{5}\right)=\sqrt{\frac{3}{5}}\cos \left(t\right)\to u=\sqrt{\frac{2}{5}}\sqrt{\frac{3}{5}}\cos \left(t\right)+\frac{2}{5} \\ u=\sqrt{\frac{6}{25}}\cos \left(t\right)+\frac{2}{5} \end{gathered}$$

och för 'v'

$\sqrt{\frac{1}{2}{\left(v+1\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{5}}\sin \left(t\right)\to v=\sqrt{\frac{6}{5}}\sin \left(t\right)-1$

emmynoether skrev:

Är du med på att din ekvation beskriver en ellips? 

Fråga hu mig?

Kallaskull skrev:

emmynoether skrev:

Är du med på att din ekvation beskriver en ellips? 

Fråga hu mig?

Nej, jag blandade ihop dig och TS. Jag tänkte ifall han/hon var med på att ekvationen var en ellips och hur man parametriserar sådana.

Kallaskull skrev:

Ish. Ifall vi skulle parametrisera en cirkel t.ex $x^2+y^2=1$ skulle vi göra det med ${\cos }^2\left(t\right)+{\sin }^2\left(t\right)=1$ så kommer parametrisera ellipsen med variabeln t(vinkeln)

Vi vill ha så $\sqrt{\frac{5}{2}{\left(u-\frac{2}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{5}}\cos \left(t\right)$därav löser jag ut 'u'

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{5}{2}{\left(u-\frac{2}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{5}}\cos \left(t\right)\to \sqrt{\frac{5}{2}}\left(u-\frac{2}{5}\right)=\sqrt{\frac{3}{5}}\cos \left(t\right)\to u=\sqrt{\frac{2}{5}}\sqrt{\frac{3}{5}}\cos \left(t\right)+\frac{2}{5} \\ u=\sqrt{\frac{6}{25}}\cos \left(t\right)+\frac{2}{5} \end{gathered}$$

och för 'v'

$\sqrt{\frac{1}{2}{\left(v+1\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{5}}\sin \left(t\right)\to v=\sqrt{\frac{6}{5}}\sin \left(t\right)-1$

Okej, nu fattar jag!

Jag kollade lite på youtube om parametrisering när det gäller en cirkel och fick fram samma  u och v som dig.

Men gör man samma parametrisering när det gäller cirklar och ellipser?

Yeah de är samma grej

Kallaskull skrev:

Yeah de är samma grej

Tack så mycket för hjälpen!