1 svar
159 visningar
ipsum behöver inte mer hjälp
ipsum 84
Postad: 31 maj 2022 15:16 Redigerad: 31 maj 2022 15:27

Flervariabel - rotationssymmetrisk kropp

Har en undring gällande c). Har inkluderat facits svar på detta. 

  • Finner det underligt var (-y)^2 kom ifrån i mellanledet? I det nya koordinatsystemet är väl x->y och y->-x, så ska det inte stå antingen (y)^2 eller (-x)^2 i mellanledet, beroende på vilken koordinat de konverterade till den nya koordinaten. Men det känns logiskt att de försökt konvertera x koordinaten till den nya koordinaten, vilket borde egentligen ge y och inte -y?
  • Dessutom i sista ledet verkar de konvertera tillbaka koordinaten till originella koordinatsystemet, men då är väl integranden bara lika med x^2, man går liksom bara fram o tillbaka?
  • Hur vet man att K är rotationssymmetrisk? 
  • Vad för konsekvenser fås av att jakobian determinanten är exakt 1? Att den är nollskild innebär bara att vi har en bijektiv avbildning, men exakt 1 kanske innebär att egenskaper hos integranden då bibehålls, t.ex att y och x är udda, vilket kommer vara fallet efter variabelbytet också?
SaintVenant 3956
Postad: 31 maj 2022 22:19 Redigerad: 31 maj 2022 22:30
ipsum skrev:
  • Finner det underligt var (-y)^2 kom ifrån i mellanledet? I det nya koordinatsystemet är väl x->y och y->-x, så ska det inte stå antingen (y)^2 eller (-x)^2 i mellanledet, beroende på vilken koordinat de konverterade till den nya koordinaten. Men det känns logiskt att de försökt konvertera x koordinaten till den nya koordinaten, vilket borde egentligen ge y och inte -y?

Jag förstår inte heller varför de har minustecken. De verkar ha gjort en 90-gradig negativ transformation istället. Det förändrar inte resultatet som blir uppenbart om man ritar för hand eller i graf:

Grön är alltså z=x2z = x^2, röd är z=y2z=y^2 och blå är ytan som omsluter området KK.

  • Dessutom i sista ledet verkar de konvertera tillbaka koordinaten till originella koordinatsystemet, men då är väl integranden bara lika med x^2, man går liksom bara fram o tillbaka?

Ja, precis. Det är poängen. Du skulle kunna jobba med dummy-variabler så som u, v, w och sedan byta tillbaka men det är överflödigt. I transformationen så är x-axeln parallell med ursprungliga y-axeln. Med rotationssymmetri hos området (TK=KT{K}=K) får du resultatet.

  • Hur vet man att K är rotationssymmetrisk? 

Det är en kon med ett sfäriskt segment som lock. Du kan rita och se att det är rotationssymmetriskt kring z-axeln. 

  • Vad för konsekvenser fås av att jakobian determinanten är exakt 1? Att den är nollskild innebär bara att vi har en bijektiv avbildning, men exakt 1 kanske innebär att egenskaper hos integranden då bibehålls, t.ex att y och x är udda, vilket kommer vara fallet efter variabelbytet också?

Det betyder att koordinatbytet inte sträcker på axlarna något. Jämför med från kartesiska till polära där du har:

dxdy=rdrdθdxdy = rdrd\theta 

Här skalar alltså faktorn rr om areaelementet (sträcker och skjuvar symmetriskt). Denna faktor kommer från Jakobianen.

Svara
Close