flervariabel, lokala extrempunkter, vilken karaktär har kvadratiska formen

Hej!

Uppgiften är att bestämma alla lokala extrempunkter till funktionen

$f (x, y) = x^{3} y^{2} + 27 x y + 27 y$ .

Jag får de två stationära punktern $(- 1, 0) & (- 3, - 1)$ .

För punkten $(- 1, 0)$ får jag den kvadratiska formen till

$Q (h, k) = 2 \cdot 27 h k - 2 k^{2} = - 2 (k^{2} - 27 h k)$ . Hur kan jag avgöra karaktären?

Provade att försöka kvadratkomplettera men lyckades ej. k^2 är ju positivt men går det att avgöra något på formen som den är på nu?

Utgående från din kvadratiska form ger kvadratkomplettering:

$- 2 (k^{2} - 27 h k) = - 2 (k^{2} - 27 h k + {(\frac{27}{2} h)}^{2} - {(\frac{27}{2} h)}^{2}) = = - 2 ({(k - \frac{27}{2} h)}^{2} - {(\frac{27}{2} h)}^{2}) = - 2 (k - \frac{27}{2} h)^{2} + 2 (\frac{27}{2} h)^{2}$

Du har blandade koefficienter hos kvadrattermerna så den bör vara indefinit. Du skulle kunna se detta utan kvadratkomplettering redan vid det första uttrycket.

Ebola skrev:
Utgående från din kvadratiska form ger kvadratkomplettering:
$- 2 (k^{2} - 27 h k) = - 2 (k^{2} - 27 h k + {(\frac{27}{2} h)}^{2} - {(\frac{27}{2} h)}^{2}) = = - 2 ({(k - \frac{27}{2} h)}^{2} - {(\frac{27}{2} h)}^{2}) = - 2 (k - \frac{27}{2} h)^{2} + 2 (\frac{27}{2} h)^{2}$
Du har blandade koefficienter hos kvadrattermerna så den bör vara indefinit. Du skulle kunna se detta utan kvadratkomplettering redan vid det första uttrycket.

Ja okej, så eftersom -2k^2 är negativt och 2*27hk kan anta både negativa och positiva värden så är den indefinit? Jag förstår inte riktigt eftersom

jag vet att man t.ex med uttrycket -h^2+4hk-3k^2 skulle kvadratkomplettera till -(h-2k)^2+k^2 och att då kan man avgöra att uttrycket kan anta både negativa och positiva värden. Varför måste man kvadratkomplettera här? Kan man inte bara från början innan kvadratkomplettering också avgöra att formen är indefinit.

Fannywi skrev:
Ja okej, så eftersom -2k^2 är negativt och 2*27hk kan anta både negativa och positiva värden så är den indefinit? Jag förstår inte riktigt eftersom
jag vet att man t.ex med uttrycket -h^2+4hk-3k^2 skulle kvadratkomplettera till -(h-2k)^2+k^2 och att då kan man avgöra att uttrycket kan anta både negativa och positiva värden. Varför måste man kvadratkomplettera här? Kan man inte bara från början innan kvadratkomplettering också avgöra att formen är indefinit.

Kvadratkomplettering och samlande av kvadratiska termer gör man för att definitivt kunna säga något om den kvadratiska formens signum. Om vi tittar på ursprungliga uttrycket:

$- 2 (k^{2} - 27 h k) = 2 k^{2} (27 \frac{h}{k} - 1)$

Vi ser att detta är positivt om $27 \frac{h}{k} > 1, k \neq 0, h \neq 0$ men det finns talpar som gör kvadratiska formen negativ eller positiv så den blir indefinit. Exempelvis ser vi direkt att om $k \neq 0, h = 0$ är uttrycket negativt.

När det kommer till den andra kvadratiska formen du nämner är det lite svårare och därmed gör kvadratkompletteringen att vi packeterar problemet på ett enklare sätt. I praktiken skulle vi alltid kunna gå igenom alla olika variationer av signum hos variablerna men antalet variationer du egentligen måste kolla är $3^{n}$ där $n$ är antal variabler.

Om du jobbar med tre variabler kan din kvadratiska form vara ganska komplicerad och antalet variationer du måste kontrollera blir upp till $3^{3} = 27$ vilket jämfört med kvadratkomplettering och sortering av termer är oerhört mycket arbete.

Se här för mer info (länk):

Kvadratisk form och dess karaktär

Ebola skrev:
Fannywi skrev:
Ja okej, så eftersom -2k^2 är negativt och 2*27hk kan anta både negativa och positiva värden så är den indefinit? Jag förstår inte riktigt eftersom
jag vet att man t.ex med uttrycket -h^2+4hk-3k^2 skulle kvadratkomplettera till -(h-2k)^2+k^2 och att då kan man avgöra att uttrycket kan anta både negativa och positiva värden. Varför måste man kvadratkomplettera här? Kan man inte bara från början innan kvadratkomplettering också avgöra att formen är indefinit.
Kvadratkomplettering och samlande av kvadratiska termer gör man för att definitivt kunna säga något om den kvadratiska formens signum. Om vi tittar på ursprungliga uttrycket:
$- 2 (k^{2} - 27 h k) = 2 k^{2} (27 \frac{h}{k} - 1)$
Vi ser att detta är positivt om $27 \frac{h}{k} > 1, k \neq 0, h \neq 0$ men det finns talpar som gör kvadratiska formen negativ eller positiv så den blir indefinit. Exempelvis ser vi direkt att om $k \neq 0, h = 0$ är uttrycket negativt.
När det kommer till den andra kvadratiska formen du nämner är det lite svårare och därmed gör kvadratkompletteringen att vi packeterar problemet på ett enklare sätt. I praktiken skulle vi alltid kunna gå igenom alla olika variationer av signum hos variablerna men antalet variationer du egentligen måste kolla är $3^{n}$ där $n$ är antal variabler.
Om du jobbar med tre variabler kan din kvadratiska form vara ganska komplicerad och antalet variationer du måste kontrollera blir upp till $3^{3} = 27$ vilket jämfört med kvadratkomplettering och sortering av termer är oerhört mycket arbete.
Se här för mer info (länk):
Kvadratisk form och dess karaktär

tack för bra förklaring!

Svara

Visa senaste svar