Flervariabel, kurvintegral

Stokes sats relaterar en sluten kurvintegral till en integral över den av kurvan inneslutna ytan.

En parametrisering av en yta kräver två (2) variabler, till skillnad från parametriseringen av en kurva (endast 1 löpvariabel).

Din beräkning av $\nabla \times \mathbf{F}$ blev lite fel.

Rätta alltså till rotationen av fältet och ta fram en parametrisering av ytan (eller ta fram ytnormalen direkt genom känd formel). Vad blir alltså $d\mathbf{S}?$

Ställ upp och beräkna ytintegralen $\displaystyle \int_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

Edit: Och försök skissa en bild över cylindern och planet om du inte redan gjort det. Markera omloppsriktningen för skärningskurvan i planet.

D4NIEL skrev:

Stokes sats relaterar en sluten kurvintegral till en integral över den av kurvan inneslutna ytan.

En parametrisering av en yta kräver två (2) variabler, till skillnad från parametriseringen av en kurva (endast 1 löpvariabel).

Din beräkning av $\nabla \times \mathbf{F}$ blev lite fel.

Rätta alltså till rotationen av fältet och ta fram en parametrisering av ytan (eller ta fram ytnormalen direkt genom känd formel). Vad blir alltså $d\mathbf{S}?$

Ställ upp och beräkna ytintegralen $\displaystyle \int_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

 

Edit: Och försök skissa en bild över cylindern och planet om du inte redan gjort det. Markera omloppsriktningen för skärningskurvan i planet.

för b) har jag nu: $$\begin{gathered} r(x,y)=(x,y,1-x-y) \\ N dS =(1,1,1) \\ Rot F = (-1,-1,-1) \\ rot F ·N dS = -3 \\ {\int }_0^{2\pi } -3r dr d\theta = -6\pi \end{gathered}$$

Så i och med att jag får $-6\pi$på båda borde ju det stämma eller?

Kurvan som bildas av skärningen är någon form av diagonalcirkel dvs den ligger inte platt i z-led. (obs vet ej formella defintionen på detta). Omloppsriktningen är ju moturs men jag vet inte hur det påverkar beräkningen? Och om det påverkar hur skulle det påverka parameterframställngen respektive stokes? 

Ja, kurvan bildar en ellips i planet.

Det är viktigt att hålla ordning på kurvans- och normalens orientering. När du går runt den slutna kurvan i positiv led ska området kurvan begränsar ligga till vänster. Ytans orientering avgör av åt vilket håll normalen pekar. I uppgiften står att kurvan ska genomlöpas moturs sett från den positiva z-axelns topp. Att hålla ordning på omloppsriktningen i förhållande till ytans positiva normalriktning ingår i förutsättningarna för Stokes sats.

$\displaystyle \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_S (\nabla\times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\iint_S -3\,dxdy=-3\int_{r=0}^\sqrt2\int_{\theta=0}^{2\pi} r\,drd\theta=-6\pi$

Om riktningen omkastas för den positiva enhetsnormalen så byter integralen tecken.

D4NIEL skrev:

Ja, kurvan bildar en ellips i planet.

Det är viktigt att hålla ordning på kurvans- och normalens orientering. När du går runt den slutna kurvan i positiv led ska området kurvan begränsar ligga till vänster. Ytans orientering avgör av åt vilket håll normalen pekar. I uppgiften står att kurvan ska genomlöpas moturs sett från den positiva z-axelns topp. Att hålla ordning på omloppsriktningen i förhållande till ytans positiva normalriktning ingår i förutsättningarna för Stokes sats.

$\displaystyle \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_S (\nabla\times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\iint_S -3\,dxdy=-3\int_{r=0}^\sqrt2\int_{\theta=0}^{2\pi} r\,drd\theta=-6\pi$

Om riktningen omkastas för den positiva enhetsnormalen så byter integralen tecken.

Ahh okej jag fattar tack. Mycket att hålla koll på.

Hur kommer ni fram till att F(r(t))*r´(t)=√2cos(t)−cos(2t)−3? Jag får det till $-2{\sin }^2\left(t\right)+\sqrt{2}\cos \left(t\right)-4{\cos }^2\left(t\right)$

student007 skrev:

Hur kommer ni fram till att F(r(t))*r´(t)=√2cos(t)−cos(2t)−3? Jag får det till $-2{\sin }^2\left(t\right)+\sqrt{2}\cos \left(t\right)-4{\cos }^2\left(t\right)$

Uttrycken är samma. Du kan förenkla dig till uttrycket via trig-regler

Hur får ni parametriseringen för ellipsen i a)? Den kommer väl inte ha $\sqrt{2}$ som radie framför både cos och sin om den är en ellips?

Det är i planet $x+y+z=1$ som kurvan är en ellips, men om man bara tittar på xy-planet blir det en cirkel, dvs projektionen av ellipsen på xy-planet är en cirkel.

Du kan tänka dig parametriseringen i två steg

Först parametriserar vi planet $x+y+z=1$ enligt

$x=x$

$y=y$

$z=1-x-y$

Sedan parametriserar vi också cirkeln i xy-planet, $x^2+y^2=2$

$x=\sqrt{2}\cos(\theta)$

$y=\sqrt{2}\sin(\theta)$

$z=1-\sqrt{2}\cos(\theta)-\sqrt{2}\sin(\theta)$

Ellipsigheten kommer sig av att vi rör oss uppåt i z-led samtidigt som vi rör oss i en cirkel över xy-planet.

D4NIEL skrev:

Det är i planet $x+y+z=1$ som kurvan är en ellips, men om man bara tittar på xy-planet blir det en cirkel, dvs projektionen av ellipsen på xy-planet är en cirkel.

Du kan tänka dig parametriseringen i två steg

Först parametriserar vi planet $x+y+z=1$ enligt

$x=x$

$y=y$

$z=1-x-y$

Sedan parametriserar vi också cirkeln i xy-planet, $x^2+y^2=2$

$x=\sqrt{2}\cos(\theta)$

$y=\sqrt{2}\sin(\theta)$

$z=1-\sqrt{2}\cos(\theta)-\sqrt{2}\sin(\theta)$

Ellipsigheten kommer sig av att vi rör oss uppåt i z-led samtidigt som vi rör oss i en cirkel över xy-planet.

Tack snälla för förtydligandet! Nu är jag med :)