Flervariabel, jobbig uppgift

Vektorfältet blir mindre krångligt i sfäriska koordinater.

$\mathbf{F}=\frac{r\hat{r}}{r^3}=\frac{\hat{r}}{r^2}$

Väljer vi flödet ut ur en sfär med radien $R$ får vi alltså ($d\mathbf{S}=\hat{r}dS$)

$\displaystyle \int_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{R^2}\iint_\Sigma dS=\frac{4\pi R^2}{R^2}=4\pi$

Oberoende av $R$.

Flödet är detsamma för alla omslutande ytor eftersom divergensen i mellanliggande område är noll. Vi har bara en punktkälla i origo.

D4NIEL skrev:

Vektorfältet blir mindre krångligt i sfäriska koordinater.

$\mathbf{F}=\frac{r\hat{r}}{r^3}=\frac{\hat{r}}{r^2}$

Väljer vi flödet ut ur en sfär med radien $R$ får vi alltså ($d\mathbf{S}=\hat{r}dS$)

$\displaystyle \int_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{R^2}\iint_\Sigma dS=\frac{4\pi R^2}{R^2}=4\pi$

Oberoende av $R$.

Flödet är detsamma för alla omslutande ytor eftersom divergensen i mellanliggande område är noll. Vi har bara en punktkälla i origo.

Ah okej tack. Så det är alltså så som jag misstänkte att radien inte spelar roll. Kan man rent informellt säga att ifall ett vektorfälts divergens är =0 så kommer kroppen eller området den verkar på att ha samma flöde oavsett storlek på området, eller råkar det bara gälla för detta område eller vektorfält specifikt?

I alla områden där divergensen är 0 blir flödet 0. Nu var poängen här att det inte är 0 i 0, så områden runt origo kommer inte vara 0. Men alla andra bitar du lägger till ditt område är helt ointressanta.

Micimacko skrev:

I alla områden där divergensen är 0 blir flödet 0. Nu var poängen här att det inte är 0 i 0, så områden runt origo kommer inte vara 0. Men alla andra bitar du lägger till ditt område är helt ointressanta.

Jaha okej då fattar jag, tack👍

Kan man säga attt divergensen fungerar som nån skalfaktor för ett område men jag kanske tänker fel. Till exempel om vi har ett vektorfält med divergens 1 så ökar flödet linjärt med radien på sfären