Flervariabel - Implicita funktionssatsen b) - Är jag blind?

Gör en separat tråd för b) frågan, då inlägget blir så långt annars.
För referens till a) delfrågan: https://www.pluggakuten.se/trad/flervariabel-implicita-funktionssatsen/

Min fråga denna gång är angående facits beräkning av matrisen $\frac{\partial(x_{1}, x_{2}, x_{3})}{\partial(a_{0}, a_{1}, a_{2})}$ . Jag misstänker att de har skrivit fel på 2:a och 3:e raden av denna matris, då mina beräkningar går inte ihop med deras.

Titta först på frågan och facit, där de beskriver notationerna som används i uppgiften.

Jag kan enkelt bara visa ett exempel på där de väldigt tydligt räknat fel enligt mig:

Varje element i matrisen $\frac{\partial(x_{1}, x_{2}, x_{3})}{\partial(a_{0}, a_{1}, a_{2})}$ kan beskrivas av

$\frac{\partial(x_{j})}{\partial(a_{i})} = \frac{-x_{j}^{i}}{\frac{\partial(p)}{\partial(x_{j})}}$
där $i \in \{0,1,2}$ och $j \in \{1,2,3}$ .

Så på 2:a raden ser vi att vi uppenbarligen borde få
$\frac{\partial(x_{2})}{\partial(a_{0}, a_{1}, a_{2})} = \begin{pmatrix}\frac{-x_{2}^{0}}{\frac{\partial(p)}{\partial(x_{2})}} & \frac{-x_{2}^{1}}{\frac{\partial(p)}{\partial(x_{2})}} & \frac{-x_{2}^{2}}{\frac{\partial(p)}{\partial(x_{2})}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{-1} & \frac{-2}{-1} & \frac{-9}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 9 \end{pmatrix}$

Facit har däremot skrivit -0.5, -1 och -2 på 2:a raden av matrisen, så därför misstänker jag att de skrivit fel. Kan någon bekräfta att jag tänkt rätt eller är det jag som är blind?

b) frågan

Visa spoiler

Lösning

Visa spoiler

För övrigt borde jag säga att jag börjar bli galen på denna uppgift. Känns som om jag antingen missat något eller så har facit allvarliga felaktigheter.

Jag förstår inte riktigt vad ni gjort, varken du eller facit.

När man beräknar $\frac{dp}{da}$ borde man få (summakonvention)

$\frac{\partial p^j}{\partial a^i}+\frac{\partial p^j}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial a^i}=0$

Vilket är samma sak som matrisekvationen

$B+CA^{-1}=0$

Där $A^{-1}=-C^{-1}B$ alltså motsvarar $\frac{\partial x^k}{\partial a^i}$ och $C$ motsvarar $\frac{\partial p^j}{\partial x^k}$ vilket med insatta värden $a^k=(-6,11,-6),\, x^h=(1,2,3)$ ger

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\1 & 2 & 4 \\-\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -\frac{9}{2} \end{array}\right)$

Det sökta värdet är $A\dot{x}$ eftersom $\frac{da^i}{dt}=\frac{\partial a^i}{\partial x^k}\frac{dx^k}{dt}$ . Med $\dot{x}=(0,0,1)$ får vi

$\dot{a}=A\dot{x}=-B^{-1}C\dot{x}=\left(\begin{array}{ccc}-6 & -3 & -2 \\5 & 4 & 3 \\-1 & -1 & -1 \\\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c}-2\\3\\-1 \end{array} \right)$

D4NIEL skrev:
Jag förstår inte riktigt vad ni gjort, varken du eller facit.

När man beräknar $\frac{dp}{da}$ borde man få (summakonvention)

$\frac{\partial p^j}{\partial a^i}+\frac{\partial p^j}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial a^i}=0$

Vilket är samma sak som matrisekvationen

$B+CA^{-1}=0$

Där $A^{-1}=-C^{-1}B$ alltså motsvarar $\frac{\partial x^k}{\partial a^i}$ och $C$ motsvarar $\frac{\partial p^j}{\partial x^k}$ vilket med insatta värden $a^k=(-6,11,-6),\, x^h=(1,2,3)$ ger

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\1 & 2 & 4 \\-\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -\frac{9}{2} \end{array}\right)$

Det sökta värdet är $A\dot{x}$ eftersom $\frac{da^i}{dt}=\frac{\partial a^i}{\partial x^k}\frac{dx^k}{dt}$ . Med $\dot{x}=(0,0,1)$ får vi

$\dot{a}=A\dot{x}=-B^{-1}C\dot{x}=\left(\begin{array}{ccc}-6 & -3 & -2 \\5 & 4 & 3 \\-1 & -1 & -1 \\\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}0\\0\\1 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c}-2\\3\\-1 \end{array} \right)$

För det första tusen tack för att du tar din tid och svarar. Denna uppgift har plågat mig i några dar nu.

För det andra så fattar jag vart jag skrev fel: gjorde dumt slarvfel, som jag rättat till nu. Jag får nu exakt samma matriselement som $A^{-1}$ såsom du beskriver, bara att jag kör enligt facits approach, som inte ligger i andan till linalg, dvs att beräkna manuellt varje element i matrisen istället för att köra matrismanipulationer direkt, vilket skulle gjort det mycket kortare av en lösning.

Fin och kort lösning du presenterade, så tack för det!

Svara