Flervar, sfäriska koord. vinklar

Tjena, jag har problem med att lista ut gränserna för vinklarna phi och theta i sfäriska koordinater.

Fråga: Hitta $\int \int \int_{B} (x^{2} + y^{2}) d V$ , där B: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}$

Beräkning:

"Cylindern" skrivs om till sfäriska koordinater: $z = f (x, y) = x^{2} + y^{2} = R^{2} \sin^{2} ϕ \cos^{2} θ + R^{2} \sin^{2} ϕ \sin^{2} θ = R^{2} \sin^{2} ϕ$

Sfären i sfäriska koordinater: $R^{2} \leq a^{2} R \leq a$

När vi sätter ${R_{C}}^{2} = {R_{S}}^{2} \leftrightarrow x^{2} + y^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} \leftrightarrow \sin^{2} ϕ = 1 \leftrightarrow \sin ϕ = 1 \leftrightarrow ϕ = π / 2$

Detta är samma sak som att skriva: $r^{2} = r^{2} + z^{2} z^{2} = 0 R \cos ϕ = 0 \cos ϕ = 0 ϕ = π / 2$

Problem: Facit ger oss att övre gränsen för phi ska vara pi.. vad blir galet?

Tack på förhand!

Är frågan verkligen ställd så? Om man vill ha en volym från en trippelintegral brukar man väl integrera 1 över det området som har volymen?

Micimacko skrev:
Är frågan verkligen ställd så? Om man vill ha en volym från en trippelintegral brukar man väl integrera 1 över det området som har volymen?

Ursäkta, det stod visst bara: Hitta $\int \int \int$ ... osv. sen är frågan korrekt :)

Jag tror du blandar ihop området med funktionen som ska integreras? Området är bara ett klot med radien a, och det du kallar cylinder är ingen figur alls utan bara en funktion. Gränserna för ett helt klot är att r går till radien, en vinkel varvet runt så till 2pi och en styr höjden, den brukar gå från 0 (rakt upp) till pi (rakt ned).

Glöm inte lägga till r^2*sin när du byter koordinater på funktionen.

Ja okej. Om man enbart tittar på gränserna för ett klot tänker jag samma som dig för r. Men jag tänker att gränserna för de två vinklarna borde vara samma. gränsen för den horisontella vinkeln borde vara 0<theta<2pi och för den vertikala tänker jag också borde vara 0<phi<2pi. Varför blir den bara till pi för vertikala? Ett klot är ju symmetriskt tänker jag. Du kan gå ett helt varv runt det (2pi) om du utgår från "mitten på yttersidan" och komma tillbaka till samma punkt, oavsett om du går i vertikalt led eller horisontellt led.

Tänk geografi. Mer öst = väst, går hela varvet. Men från norr till söder är ett halvt varv.

Jonas månsson har en bra film om det här har jag för mig.

Svara

Visa senaste svar