Flervar. Optimering på kompakta mängder

Tricket här är att inse att randen till ett tredimensionellt område är en yta. Du kommer alltså att behöva leta efter största och minsta värde på ett tvådimensionellt område för att undersöka randen.

Om vi exempelvis tar delen av randen som pekar nedåt i $z$-led så ser vi att denna kan parametriseras av $(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})$. Sätter vi in detta i funktionen får vi:

$f(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})=xy(\sqrt{1-x^2-y^2}+1)$

För att undersöka denna del av randen ska man alltså hitta min- och maxvärden för tvåvariabeluttrycket $xy(\sqrt{1-x^2-y^2}+1)$ i området $x^2+y^2 \leq 1$, $x,y \geq 0$.

Sedan gör du på samma sätt med de andra delarna av randen.