Flervar. Linje-/kurvintegral

Tjena, jag försöker mig på att förstå beräkning av linjeintegraler men får inte ihop det varken tankemässigt eller beräkningsmässigt.

Fråga: Beräkna den givna linjeintegralen över den specificerade kurvan $ζ$ .

$\int_{ζ} (x + y) d s, r = a t * i + b t * j + c t * k, 0 \leq t \leq m$

Beräkning:

Jag har inte lyckats förstå metoden så det är mitt fokus här.

Jag tolkar det som att $f (x, y) = x + y$ , samt att parametriseringen av kurvan $ζ$ , har givit $r = a t * i + b t * j + c t * k$ .

Utifrån detta kan jag se att: $x = a t, y = b t, z = c t$

Jag vill tolka det som att jag ska derivera r m.a.p. t: $|\frac{d r}{d t}| = a * i + b * j + c * k$

Problem: Jag vet inte hur jag ska fortsätta här..

Lösningsförslaget säger att värdet av $|\frac{d r}{d t}| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Jag förstår inte hur de kommer fram till värdet av dr/dt..

Tack på förhand.

När du deriverar får du en ny vektor: $\frac{dr}{dt} = a\hat{\imath} + b\hat{\jmath}+c\hat{k}$

Beloppet (längden) av den vektorn är $|\frac{dr}{dt}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (detta är 3D-motsvarigheten till Pythagoras sats avståndsformeln: längden av rymddiagonalen)

Är du med på att parameterframställningen kan skrivas som en vektorvärd funktion i en variabel (parametern $t$ ) så här:

$\mathbf{r}(t)=(at,bt,ct)$

Nu deriverar vi vektorn med avseende på t.

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=(a,b,c)$

Hur lång är vektorn $(a,b,c)$ ? Längden ges av normen (längden av vektorn).

$|\dot{\mathbf{r}}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Integralen ges slutligen av

$\displaystyle \int_\gamma f(\mathbf{r}(t))|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|dt$

Just det, längden av vektorn!
Här tar vi då längden av vektorn från origo antar jag!

Tack så länge, jag uppdaterar nog strax med ytterligare en fråga eller två!

Inga mer frågor på denna iaf!

Tack så mycket, sån enkelt egentligen, jag hade bara tolkat uttrycket $|\frac{d r}{d t}|$ fel!

Svara

Visa senaste svar