Flervar. kurvor och ytor

Jag antar att uppgiften frågar efter tangenten till kurvan $\gamma$ i punkten $(2,1,2)$. Svaret bör alltså vara en rät linje.

Vad du har beräknat är kryssprodukten av normalerna till ytorna. Detta ger en vektor som är vinkelrät mot normalerna till de två ytorna, men det är inte samma sak som tangenten till kurvan i punkten $(2,1,2)$.

Hej Tinelina, jag tror att du bara slarvade lite när du beräknade din kryssprodukt

Gradienten till ytan är mycket riktigt $(4,2,-4)$ och normalen till planet är $(1,-1,1)$.

En vektor som är vinkelrät mot både planets normal (dvs ligger i planet) och gradienten (dvs ligger i tangentplanet till ytan) är alltså kryssprodukten $(1,-1,1)\times (4,2,-4) = (2,8,6)$

Som alvin påpekar är tangenten egentligen en linje, så du måste lägga på en punkt och en löpvariabel, enklast är tangeringspunkten.

$(2,1,2)+t(1,4,3)$

Aa att det ska bli en rät linje förstår jag, men skrev inte ut hela ekvationen då jag såg att lutningen var fel.

Men hur får du lutningen till (1,4,3)? Ska man alltid förkorta till minsta heltal (dela vektorn med 2 i detta fall)?

Tangentvektorn är alltså riktningsvektor till tangenten. Vektorn $(1,4,3)$ pekar åt exakt samma håll som vektorn $(10,40,30)$ som i sin tur pekar åt exakt samma håll som vektorn $(2,8,6)$. Tangentvektorn är alltså inte entydigt bestämd.

Jag tycker personligen det är snyggare att förkorta till minsta heltal. Det känns onödigt om än inte felaktigt att t.ex. förlänga riktningsvektorn med $\pi$ på pi-n kiv :)

Det som händer är att t också skalas om (eller byter tecken om du flippar riktningsvektorn 180°).

Ett annat sätt att lösa uppgiften är att göra en parameterframställning $\mathbf{r}(u)$ av kurvan med löpvariabel u (jmfr t ovan). Då kommer vektorn $\mathbf{r'} (u) .$ vara en tangentvektor till kurvan (och ha exakt samma riktning som vektorn ovan). Man säger att tangentvektorns riktning är oberoende av parameterframställningen.

Vid en parameterframställning kan man dra nytta vektorns normering i förhållande till variabeln. Storleken $|\mathbf{r'}(u)|$ får en geometrisk betydelse som skalfaktor i avbildningen av  $du$ ty $d\mathbf{r}=\mathbf{r'} (u)du$, något du kommer använda senare i kursen när du beräknar linjeintegraler.

Aa okej, tack allihopa!