Flervar: Kurvintegral Greens sats

Låt C vara den kurva i R2 som definieras av:

$C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1, x \geq 0, y \geq 0$ .

Beräkna kurvintegralen

$\int_{c} (2 x - 3 y) d x + (5 x + 6 y) d y .$

Antag att C genomlöps i en sådan riktning att y-koordinaten ökar.

Kurvan är en ellipsbåge i första kvadranten som går från punkten (3,0) till (0,2). Fick fram integralen $\int_{c} \int 8 d A$ m.h.a. Green sats. Satte sedan $\{\begin{cases} x = 3 u \\ y = 2 v \end{cases}$ och fick fram $u^{2} + v^{2} = 1$ och $d A = J (u, v) d u d v = |\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}| = 6 d u d v$ . Bytte sedan till polära koordinater och fick slutligen integralen $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} 48 r d r d θ = 12 π$ .

Svaret ska bli $12 π + 3$ . Antar att 3:an kommer ifrån att kurvan inte är sluten, men förstår inte hur man får fram den.

Du har räknat ut vad det skulle bli om du gick hela varvet runt din fjärdedels ellips. Men du går aldrig på linjerna som ligger på axlarna, så räkna ut vad de blir och minusa bort.

Tack för svaret!

Testade att räkna ut axlarna och det blir 48 (?). Tänkte att man går från (0,2) till (0,0) och sedan (0,0) till (3,0)

$12 π - \int_{0}^{3} \int_{2}^{0} 8 d y d x = 12 π + 48$ .

En linje är en enkelintegral, parametrisera linjerna och integrera en i taget, utan Green

Förstår inte exakt vad du menar. Ska jag parametrisera x- och y-axlarna och sedan integrera dem x: 0→3 och y:2→0? Om det är fallet, hur parametriserar man axlarna?

Låt oss ta x-axeln först.

En enkel parameterframställning ges av $(x,y)=(t,0)$ från $t=0$ till $t=3$ .

Kan du ställa upp och beräkna den linjeintegralen?

Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar