Flervar, kedjeregel

UPG: Låt f vara en C¹-funktion av en variabel och sätt z (x,y) = f(x/y).

(1) Beräkna z'_x och z'_y, och visa att xz'_x + yz'_y = 0.

(2) Slutligen, kan $z (x, y) = \frac{x^{2} - y^{2}}{x y}$ skrivas som f(x/y) för något f?

(1) har jag genomfört, får ut rätt svar.

(2) är den del jag har problem med. Fungerar det att behandla f som en variabel och få ut f genom ekvationen

f(x,y) = $\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}$ ?

Jag får isåfall att svaret vore: f = $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$

Facit säger "Ja, med f (t) = t - 1/t" där jag antar att t = x/y.

Hur ser mitt tillvägagångssätt ut?

Kan du visa hur du fick svaret på (2)?

Om t.ex. f(t) = 1+t, så blir f(x/y) = 1+x/y = (y+x)/y. Så om frågan have varit om z(x,y) = (y+x)/y kan skrivas som f(x/y) så hade svaret varit ja: f(t) = 1+t.

Du ska skriva om (x²-y²)/xy så att det inte står x eller y ensamt här och där, utan bara x/y. Om det går.

Laguna skrev:
Om t.ex. f(t) = 1+t, så blir f(x/y) = 1+x/y = (y+x)/y. Så om frågan have varit om z(x,y) = (y+x)/y kan skrivas som f(x/y) så hade svaret varit ja: f(t) = 1+t.
Du ska skriva om (x²-y²)/xy så att det inte står x eller y ensamt här och där, utan bara x/y. Om det går.

Tror jag förstår tankesättet! Men är fortfarande osäker på hur jag generellt kan ställa upp det - situationen påminner mig om när man ska få ut inversen till en funktion, alltså att man får x = en funk istället för y = funk.

Eller menar du annat?

Med detta uttryck är det inte så svårt att förenkla och sedan med ögat se hur man kan uttrycka det i enbart $\frac{x}{y}$ , men ett annat alternativ är ju att sätta $t=\frac{x}{y}$ och lösa ut att $x=y\cdot t$ och sedan sätta in i uttrycket:

$\dfrac{x^2-y^2}{xy}=\dfrac{(y\cdot t)^2-y^2}{y\cdot t\cdot y}=\dfrac{y^2\cdot t^2-y^2}{y^2\cdot t}=\dfrac{y^2\cdot t^2}{y^2\cdot t}-\dfrac{y^2}{y^2\cdot t}=t-\dfrac{1}{t}$

Alltså går det att skriva uttrycket så att det enbart beror av $t=\frac{x}{y}$ .

Svara

Visa senaste svar