Flervar. Extremvärden i begränsade områden

Hejsan, jag fastnar i extremvärden av en funktion som är begränsad av en annan funktion/figur.

Jag har egentligen två uppgifter men vi börjar med första så kanske andra ger med sig.

Ta fram min- & max-värden av $f (x, y) = x - x^{2} + y^{2}$ , på rektangeln $0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1$

$f_{1} = 1 - 2 x \to x = \frac{1}{2}, f_{2} = 2 y \to y = 0$

Kritisk punkt: $(\frac{1}{2}, 0)$ , $\to f (\frac{1}{2}, 0) = \frac{1}{4}$

Sedan tar jag hänsyn till rektangelns linjer: $y_{1} = 1, y_{2} = 0, x_{1} = 2, x_{2} = 0$

Sätter i dessa värden i f: $f (2, 0) = - 2, f (0, 0) = 0, f (0, 1) = 1$

Sedan finns även punkten där de båda linjerna möts $(2, 1)$ : $f (2, 1) = (- 1)$

Här blir jag fundersam, facit säger att min-värdet är $f (2, 0) = - 2$ , men max-värdet är $f (\frac{1}{2}, 1) = \frac{5}{4}$

Varför ändras x här till 1/2 och y till 1? Jag förstår att om x=1/2 så kan y som max vara 1 men testar man den här punkten bara? känner att jag inte ser metoden för hur man kommer fram till att testa den punkten.

Du behöver undersöka rektangelns rand också. Om vi t ex tar den övre vågräta linjen så har punkterna på linjen koordinaterna (x,1). Sätt in dessa värden i ursprungsekvationen, så blir det f(x,1)=x-x²+1. Derivera, så blir det f'(x,1)=1-2x. Derivatan är 0 om x = ½, så då får vi den eftersökta punkten, eftersom f(½,1)=0,5-0,25+1 = 1,25. Du behöver uncersöka de tra andra randlinjerna också, men jag gissar att de inte ger något.

Smaragdalena skrev:
Du behöver undersöka rektangelns rand också. Om vi t ex tar den övre vågräta linjen så har punkterna på linjen koordinaterna (x,1). Sätt in dessa värden i ursprungsekvationen, så blir det f(x,1)=x-x²+1. Derivera, så blir det f'(x,1)=1-2x. Derivatan är 0 om x = ½, så då får vi den eftersökta punkten, eftersom f(½,1)=0,5-0,25+1 = 1,25. Du behöver uncersöka de tra andra randlinjerna också, men jag gissar att de inte ger något.

Aha okej, trodde jag fick med rektangelns randlinjer i mina beräkningar.

så, $f (2, y) = 2 - 2^{2} + y^{2} \to f_{2} (2, y) = 2 y \to y = 0 f (2, 0) = (- 2)$

Här undersöker jag då den vertikala randen och får fram funktionens minvärde?

Då missade jag ett steg i mina beräkningar där, tack så mkt!

Ja, så funkar det. Gissar att du har missat en "derivata-fnupp" ' efter den första pilen. Derivatan är 0 på hela linjen, alltså konstant funktionsvärde. Två randlinjer kvar att undersöka.

PhilipL skrev:
...
Sedan tar jag hänsyn till rektangelns linjer: $y_{1} = 1, y_{2} = 0, x_{1} = 2, x_{2} = 0$
Sätter i dessa värden i f: $f (2, 0) = - 2, f (0, 0) = 0, f (0, 1) = 1$
Sedan finns även punkten där de båda linjerna möts $(2, 1)$ : $f (2, 1) = (- 1)$
...

Du har antagligen redan insett det, men för andra läsare kan jag förtydliga att det du beräknade här var endast funktionsvärdena i rektangelns hörnpunkter.

Svara

Visa senaste svar