flervar. dS

Hejsan, jag försöker förstå formeln: $d S = \frac{|n|}{|n \circ k|}, \circ = k a p i l l ä r p r o d u k t$

med en normalvektorn: $n = A i + B j + C k$

facit säger att $d S = \frac{|n|}{|n \circ k|} = \frac{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}{|C|}$

min fråga är då hur $|n \circ k| = |C|$ ?

Jag tänker mig att det är C mutiplicerat med varje element i n, dvs. $|n \circ k| = A C + B C + C^{2}$ , men tror inte det då jag isf får att: $d S = \frac{|n|}{|n \circ k|} = \frac{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}{\sqrt{A^{2} C + B^{2} C + C^{4}}} = \frac{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}{C \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \frac{1}{C}$

kan det vara så att nämnaren inte avser ett avstånd?

Hittade att jag kan skriva om det så att: $d S = \frac{|n|}{|n \circ k|} = \frac{|\nabla f|}{|f 3|}$

Om du skalärmultiplicerar en vektor med $\hat{k}$ plockar du ut dess z-komponent

$(A,B,C)\cdot \hat{k}=A\underbrace{(\hat{i}\cdot\hat{k})}_{0}+B\underbrace{(\hat{j}\cdot\hat{k})}_{0}+C\underbrace{(\hat{k}\cdot\hat{k})}_{1}=C$

Jroth skrev:
Om du skalärmultiplicerar en vektor med $\hat{k}$ plockar du ut dess z-komponent
$(A,B,C)\cdot \hat{k}=A\underbrace{(\hat{i}\cdot\hat{k})}_{0}+B\underbrace{(\hat{j}\cdot\hat{k})}_{0}+C\underbrace{(\hat{k}\cdot\hat{k})}_{1}=C$

hmm, okej. Varför blir $i * k = 0 j * k = 0$ ?

Basvektorerna är ortogonala (vinkelräta) mot varandra.

När två vektorer är vinkelräta mot varandra blir deras skalärprodukt 0.

Ett annat sätt att se på skalärprodukten är så här:

$A\hat{i}+B\hat{j}+C\hat{k}=(A,B,C)$

$\hat{k}=(0,0,1)$

Nu blir skalärprodukten

$(A\hat{i}+B\hat{j}+C\hat{k})\cdot\hat{k}=(A,B,C)\cdot(0,0,1)=0A+0B+1C=C$

Jroth skrev:
Ett annat sätt att se på skalärprodukten är så här:
$A\hat{i}+B\hat{j}+C\hat{k}=(A,B,C)$
$\hat{k}=(0,0,1)$
Nu blir skalärprodukten
$(A\hat{i}+BA\hat{j}+C\hat{l})\cdot\hat{k}=(A,B,C)\cdot(0,0,1)=0A+0B+1C=C$

aha! ok, då är jag med! tack så mkt!

Tanken med att dela med C är att normera dS så att vi kan använda ytelementet

$\mathrm{d}\mathbf{S}=(-f^'_x, -f^'_y,1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Med korrekt normering för parameterframställningen $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y))$ i ytintegralen.

Svara

Visa senaste svar