Flervar. Centroid, sfär

Jag ska hitta centroiden i första oktanten av en bollen $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}$ .

Gränserna borde bli: $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ samt att radien är a i x-, y- och z-led.

Det ger: $0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a$

Beräkning av "M": $M_{x = o} = M_{z = 0} = M_{y = 0} = \int \int \int y d x d z d y = \int \int {[\frac{y^{2}}{2}]}^{a}_{0} = \int \frac{1}{2} \int a^{2} d x d z = \int \frac{1}{2} {[a^{2} z]}^{a}_{0} = \frac{1}{2} \int a^{3} d x = \frac{a^{4}}{2}$

och beräkning av m: $m = \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} d x d z d y = a^{3}$

det ger centroiden: $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ , men detta är fel... det ska vara $(\frac{3 a}{8}, \frac{3 a}{8}, \frac{3 a}{8})$

Är det gränserna jag gör fel på?

Tack på förhand!

Har funderat på att eftersom det är första oktanten så är det endast 1/8 av hela bollens volym.

$V = \frac{4 π * r^{3}}{3} / 8$

men kan inte riktigt få med volymen för kan inte få bort pi i svaret

Du räknar ut centroiden hos en kub. Du måste ha med ekvationen för sfären någonstans.

Laguna skrev:
Du räknar ut centroiden hos en kub. Du måste ha med ekvationen för sfären någonstans.

aah okej, menar du såhär: $\int \int \int (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z$ , med gränserna a till 0?

Den här uppgiften blir väldigt mycket enklare i sfäriska koordinater. Har ni gått igenom det?

För tyngdpunktens läge i x-led vill du beräkna integralen $\overline{x}=\frac{1}{V_{tot}}\int_V x\,\mathrm{d}V$

Där $V_{tot}$ är 1/8 av bollens volym (som du visat ovan)

Analogt y- och z.

Jroth skrev:
Den här uppgiften blir väldigt mycket enklare i sfäriska koordinater. Har ni gått igenom det?
För tyngdpunktens läge i x-led vill du beräkna integralen $\overline{x}=\frac{1}{V_{tot}}\int_V x\,\mathrm{d}V$
Där $V_{tot}$ är 1/8 av bollens volym (som du visat ovan)
Analogt y- och z.

Vi har gått igenom sfäriska koordinater och jag tänkte den tanken men jag var osäker på hur jag skulle kombinera sfäriska koordinater med M och m.

Men blir $M_{x} = \bar{x} = \frac{1}{(\frac{1}{8})} * \int x R^{2} \sin (ϕ) d R d ϕ d θ$ ?

Jag har haft svårt att förstå hur gränserna för phi och theta bestäms. Jag har kommit fram till att i vanliga fall är phi mellan 0 och pi samt att theta är mellan 0 och 2pi, men nu blir jag osäker på hur jag ska få gränserna att anpassas till första oktanten

PhilipL skrev:
Men blir $M_{x} = \bar{x} = \frac{1}{(\frac{1}{8})} * \int x R^{2} \sin (ϕ) d R d ϕ d θ$ ?

Japp, ser bra ut, förutom att 1/8 av klotets volym är $\frac{\pi a^3}{6}$ som du räknade ut ovan.

I den första oktanten ska vinkeln i xy-planet gå från $0$ till $\frac{\pi}{2}$

Vinkeln mot z-axeln ska gå från $0$ till $\frac{\pi}{2}$

Radien ska gå från $0$ , till $a$

Kanske har du hjälp av den här bilden:

Översätt också ditt x till motsvarande i sfäriska koordinater.

Jroth skrev:
PhilipL skrev:
Men blir $M_{x} = \bar{x} = \frac{1}{(\frac{1}{8})} * \int x R^{2} \sin (ϕ) d R d ϕ d θ$ ?
Japp, ser bra ut, förutom att 1/8 av klotets volym är $\frac{\pi a^3}{6}$ som du räknade ut ovan.
I den första oktanten ska vinkeln i xy-planet gå från $0$ till $\frac{\pi}{2}$
Vinkeln mot z-axeln ska gå från $0$ till $\frac{\pi}{2}$
Radien ska gå från $0$ , till $a$
Översätt också ditt x till motsvarande i sfäriska koordinater.

aah okej, det är klart, tror jag ser vinklarna framför mig!

Tack så mycket för hjälpen!

PhilipL skrev:
Laguna skrev:
Du räknar ut centroiden hos en kub. Du måste ha med ekvationen för sfären någonstans.
aah okej, menar du såhär: $\int \int \int (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z$ , med gränserna a till 0?

Nej, det är gränserna som blir komplicerade. T.ex. x från 0 till $\sqrt{a^2-y^2-z^2}$ . Som någon annan skrev blir det enklare med sfäriska koordinater.

Laguna skrev:
PhilipL skrev:
Laguna skrev:
Du räknar ut centroiden hos en kub. Du måste ha med ekvationen för sfären någonstans.
aah okej, menar du såhär: $\int \int \int (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d x d y d z$ , med gränserna a till 0?
Nej, det är gränserna som blir komplicerade. T.ex. x från 0 till $\sqrt{a^2-y^2-z^2}$ . Som någon annan skrev blir det enklare med sfäriska koordinater.

Aah, testade de gränserna först men trodde jag var fel ute och kom då istället in på a till 0 men har gjort med sfäriska koordiater, blev mycket lättare :)

Svara

Visa senaste svar