Flervar.analys: derivering av f(x,y) vid klassificering av punkter.

Tjena, jag ska hitta och klassificera kritiska punkter vid funktionen $f (x, y) = x^{2} * y * e^{- (x^{2} + y^{2})}$

Jag får inte fram rätt första derivata..

OBS - förtydligande $\to$ $f_{1} = f_{x} f_{2} = f_{y}$

Jag gör såhär: $f_{1} = 2 x * y * e^{- x^{2} - y^{2}} * (- 2 x)$ , då derivatan av den inre funktionen $(- x^{2} - y^{2}) = - 2 x$ .

Jag missar någonting eftersom ett facit säger att $f_{1} = 2 x * y * e^{- (x^{2} + y^{2})} - 2 x^{3} * y * e^{- (x^{2} + y^{2})}$ , förstår inte hur de får $x^{3}$

Tacksam för svar/tips!

Du måste använda produktregeln för derivering

$\frac{\partial}{\partial x} (h \cdot g) = \frac{\partial h}{\partial x} \cdot g + h \cdot \frac{\partial g}{\partial x}$ .

Ah, såklart!

PATENTERAMERA skrev:
Du måste använda produktregeln för derivering
$\frac{\partial}{\partial x} (h \cdot g) = \frac{\partial h}{\partial x} \cdot g + h \cdot \frac{\partial g}{\partial x}$ .

Produktregeln funkade hur bra som helst vid första derivatan :) men när jag ska ta fram andra derivatan, $f_{11}$ , så blir det mycket att hålla reda på.

jag fick första derivatan att bli: $f_{1} = 2 x y * (1 - x^{2}) * e^{(- x^{2} - y^{2})} f_{2} = x^{2} * (1 - 2 y^{2}) * e^{(- x^{2} - y^{2})}$

Detta stämmer enligt facit så nu börjar jag på andra derivatan: $f_{11} = f_{x x}$

Jag ser det som att jag nu har 3 funktioner, $f = 2 x y, g = e^{(- x^{2} - y^{2})}, h = (1 - x^{2})$ . Jag försökte med $D (f g h)$ men förstod inte hur jag kan använda produktregeln vid 3 funktioner.
Därför backade jag innan förenkling av $f_{1}$ och fick då $f_{1} = (2 x y - 2 x^{3}) * e^{(- x^{2} - y^{2})}$

Utifrån den här tog jag ut 3 funktioner, $f = 2 x y, g = e^{(- x^{2} - y^{2})}, h = 2 x^{3} y$ , försökte derivera enligt produkt- & sumregeln sammanslaget.

$D (a + b) = a' + b' \leftrightarrow D (f g + h g) \to D (f g) + D (h g)$

Jag fick inte rätt svar så antar att jag är ute och cyklar i mina beräkningar..?

Löste det, kedjeregeln är det nog jag letat efter: $D (f g h) = f' g h + f g' h + f g h'$

Det gav mig rätt svar!

PhilipL skrev:
Löste det, kedjeregeln är det nog jag letat efter: $D (f g h) = f' g h + f g' h + f g h'$
Det gav mig rätt svar!

Vill bara påpeka att det där inte riktigt är det man brukar kalla för kedjeregeln, det är upprepad användning av produktregeln. Eftersom du tidigare nämnde att du inte vet hur du använder produktregeln vid 3 funktioner:

Låt $gh=r$ , då gäller att $D\left(fgh\right) = D\left(fr \right) = r\cdot D(f)+f\cdot D(r) = D(f)\cdot gh + f\cdot D(r)$ . Byt nu tillbaka helt till $gh=r$ och så får du $D(f)\cdot gh + f\cdot D(gh) = D(f)gh+f\cdot \left(D(g)\cdot h + g\cdot D(h)\right)=$

$= D(f)gh+fD(g)h+fgD(h) = f'gh+fg'h+fgh'$ .

Moffen skrev:
PhilipL skrev:
Löste det, kedjeregeln är det nog jag letat efter: $D (f g h) = f' g h + f g' h + f g h'$
Det gav mig rätt svar!
Vill bara påpeka att det där inte riktigt är det man brukar kalla för kedjeregeln, det är upprepad användning av produktregeln. Eftersom du tidigare nämnde att du inte vet hur du använder produktregeln vid 3 funktioner:
Låt $gh=r$ , då gäller att $D\left(fgh\right) = D\left(fr \right) = r\cdot D(f)+f\cdot D(r) = D(f)\cdot gh + f\cdot D(r)$ . Byt nu tillbaka helt till $gh=r$ och så får du $D(f)\cdot gh + f\cdot D(gh) = D(f)gh+f\cdot \left(D(g)\cdot h + g\cdot D(h)\right)=$
$= D(f)gh+fD(g)h+fgD(h) = f'gh+fg'h+fgh'$ .

Jaha okej! Tack för förtydligande! :)

Du behöver i och för sig inte använda regeln för tre funktioner här.

Sätt h(x, y) = x²y och g(x, y) = $e^{- x^{2} - y^{2}}$ , då blir f = h $\cdot$ g.

Svara

Visa senaste svar