8 svar

403 visningar

pauwui behöver inte mer hjälp

Flerdim kurvintegral

Uppgiften: Beräkna kurvintegralen

$\int_{D} x y d x + y d y$
Där där D är kurvan y = cos x från (0,1) (π/2,0).

Svar enligt facit: $\frac{π}{2} - \frac{3}{2}$

Min (inkorrekta) lösning:

Jag tänker att området vi integrerar över är en ellips som skär y axeln i (0,1) och x-axeln i (π/2,0).

Jag gör parametriseringen :

(1) { x = π/2 cos t y = sin t

(2)Då blir { dx = -π/2 sin t dt dy = cos t dt

Sedan tänker jag att nedre integrationsgränsen är 0 och den övre är π/2 (Skulle kunna vara tvärtom, då vi börjar i (0,1) men blir konstigt.)

(1) ger

$\int_{0}^{π / 2} \frac{π}{2} \sin^{2} t \cos t d x + \sin t d y$

(2) ger

$\int_{0}^{π / 2} (- \frac{π^{2}}{4} \sin^{3} t \cos t + \sin t \cos t) d t$

Sedan tänker jag att variabelbytet:

$\sin t = u ä r b r a d å = > d t = \cos t d u$

$\int_{0}^{π / 2} - \frac{π^{2}}{4} u^{3} + u d u$

${[\frac{π^{2} u^{4}}{16} + \frac{u^{2}}{2}]}_{0}^{\frac{π}{2}}$

Kurvan

y = cos(x)

är inte någon ellips (och inte samma sak som

x = π/2 cos(t), y = sin(t))

Dr. G skrev:
Kurvan
y = cos(x)
är inte någon ellips (och inte samma sak som
x = π/2 cos(t), y = sin(t))

Tänker att den delen av cos x (från (0,1) till (pi/2,0) motsvarar ellipsen i första kvadranten, Men det är inte riktigt samma sak insåg jag nu när jag ritade graferna.

Då är jag tillbaka på mer eller mindre ruta ett. Tänker att vi har då området:

D = {(x,y): 0<x<pi/2 , 0<y<sin x }

men efter det står det still. Funderar på parametriseringar men kommer inte på något vettig då det ska röra sig om en enkelitegral och inte vara 2 gränser

Kurvan är redan parametriserad, med x som parameter.

Om du prompt vill ha in en ny parameter så sätt

x = t, y = cos(t), 0 ≤ t ≤ 1.

Dr. G skrev:
Kurvan är redan parametriserad, med x som parameter.
Om du prompt vill ha in en ny parameter så sätt
x = t, y = cos(t), 0 ≤ t ≤ 1.

Borde inte t<pi/2?

Aha! Så jag kan byta ut y mot cos x och byta ut dy mot -sin x dx då då det motsvarar det variabelbytet?

Det skulle ge mig $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x - \cos x \sin x d x$

Men det känns fel då sinx = u då ger :

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} A r c \sin u - u d u$

pauwui skrev:
Det skulle ge mig $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x - \cos x \sin x d x$

Dela upp integralen i två. Den sista är lätt.

x*cos(x) får du integrera partiellt och använda ett litet "trick".

Dr. G skrev:
pauwui skrev:
Det skulle ge mig $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x - \cos x \sin x d x$
Dela upp integralen i två. Den sista är lätt.
x*cos(x) får du integrera partiellt och använda ett litet "trick".

Svaret blir desvärre fel även när jag kör härifrån med wolfram

En variant vore att, med ett trick, tillämpa Greens sats i planet.

Inledningsvis:

$\int\limits_{\Gamma} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}$ , där $F = (\begin{matrix} x y \\ y \end{matrix})$ .

Kurvan $\Gamma$ :

Låt oss tillsluta (notera omloppsriktningen):

$S=\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3$ , där $\gamma_1=-\Gamma$ .

Efter att ha nyttjat Greens sats, får man efter lite räknande att allt kokar ner till:

$\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi /2} (-x)\, dx \int\limits_{0}^{\cos x}dy=\int\limits_{0}^{\pi /2}(-x\cos x)\, dx$

...(part. int.) = $-\dfrac{\pi}{2}+1$ .

Avslutningsvis:

$\int\limits_{\Gamma}\mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}=\int\limits_{1}^{0}y\, dy+\dfrac{\pi}{2}-1=\dfrac{\pi -3}{2}$ .

Svara

Visa senaste svar