Flerdim | Kort fråga om gradient och nivåkurva

Varför pekar en gradient alltid ut från en nivåkurva? Den har alltid 90 graders vinkel till tangenten i punkten. Varför är det så?

Halvformellt resonemang:

I envariabelfallet har du att funktionsvärdet df lokalt förändras om du flyttar dig en sträcka dx som

df ≈ (df/dx)*dx

I flervariabelfallet får du i princip samma sak om du lägger ihop bidragen i alla tänkbara riktningar

df ≈ (df/dx)*dx + (df/dy)*dy + ...

HL är då samma sak som skalärprodukten grad(f)*dr.

Då funktionsvärdet inte förändras då dr pekar längs en nivåkurva/-yta är df = 0, vilket ger att grad(f) måste vara vinkelrät mot nivåkurvan (så att skalärprodukten blir 0).

Svara