Flerdim | Kontinuerligt

Det är $(x,y) \rightarrow (0,0)$ du ska undersöka.

Om man tar $xy \rightarrow 0$ är det ju produkten av $x$ och $y$ som närmar sig $0$. Vi vill undersöka vad som händer med funktionen när $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$.

AlvinB skrev:

Det är $(x,y) \rightarrow (0,0)$ du ska undersöka.

Om man tar $xy \rightarrow 0$ är det ju produkten av $x$ och $y$ som närmar sig $0$. Vi vill undersöka vad som händer med funktionen när $(x,y)$ närmar sig punkten $(0,0)$.

 Betyder inte $xy \neq 0$ att produkten inte får vara noll? Då tänker jag att vi är intresserade av nollproduktmetoden och till följd därav:

1. $(0,y) \rightarrow (0,0)$
2. $(x,0) \rightarrow (0,0)$
3. $(x,y) \rightarrow (0,0)$

Jag var lite snabb där, jag missade att båda termerna innehöll både $x$ och $y$. Du har rätt, i alla punkter där $xy=0$ är ju nämnaren noll (och funktionen därmed odefinierad). Det är alltså alla sätt som $xy \rightarrow 0$ som ska undersökas.

EDIT: Om man är lite klurig inser man att eftersom gränsvärdet kan skrivas

$\lim_{xy \rightarrow 0} \dfrac{\sin(xy)}{xy+(xy)^3}$

och alla termer är uttryckta i just $xy$ kan man ju ersätta $xy$ med en variabel $t$. Då får man helt plötsligt ett envariabelgränsvärde:

$\lim_{xy \rightarrow 0} \dfrac{\sin(xy)}{xy+(xy)^3}=\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{\sin(t)}{t+t^3}$

Tänk också på att du i princip har en envariabelfunktion av t = xy, vilket underlättar.

EDIT: ser nu att AlvinBs redigering gjorde detta inlägg överflödigt.

Tack, jag vet hur man löser uppgiften den vägen nu.

I svaret skriver dom $(x,y) \rightarrow (0,0)$. Hur kommer det sig att det är ekvivalent med $xy \rightarrow 0$? Beror det på att någon av 1-3 uteslutas eller förenas så att vi har #3 kvar?

$xy = 0 \Leftrightarrow$ $x = 0$ eller $y = 0$ eller $x=y=0$

1. $(0,y) \rightarrow (0,0)$
2. $(x,0) \rightarrow (0,0)$
3. $(x,y) \rightarrow (0,0)$

Kan du lägga upp en bild på facits lösning?

$xy \rightarrow 0$ är ju inte ekvivalent med $(x,y) \rightarrow (0,0)$ eftersom $xy \rightarrow 0$ innefattar när $(x,y)$ närmar sig alla punkter på $x$-axeln och alla punkter på $y$-axeln, medans $(x,y) \rightarrow (0,0)$ enbart innefattar närmandet av punkten $(0,0)$.

Frågan är om man kan utvidga funktionen så att dne blir kontinuerlig.

Jo, det är jag med på, man måste hitta gränsvärdet när $xy \rightarrow 0$ för att kunna definiera $f$ i alla punkter då $xy=0$.

Är detta verkligen facit? (fruktansvärt otydligt i så fall)