Flerdim | Gränsvärde

Bestäm gränsvärdet:
$\lim_{x^2+y^2 \rightarrow \infty} xye^{-(x+y)^2}$

$xy e^{-(x+y)^2} = xye^{ -(x^2+2xy+y^2) }$

$\frac{r^2 \cos \phi \sin \phi}{e^{r^2(1+\sin 2\phi) } }$

$\frac{r^2 \sin 2 \phi}{2 \cdot e^{(r^2+r^2 \sin 2\phi) } }$

$\frac{r^2 \sin 2 \phi}{2 e^{r^2} e^{r^2 \sin 2 \phi}}$

Jag vet inte hur jag ska fortsätta.

Kan ni hjälpa mig?

I nämnaren kan du lösa ut ett r och få

$\frac{1}{2}r^2\sin(2\varphi)e^{-r^2(1+\sin(2\varphi))}$

Vad händer med $(1+\sin(2\varphi))$ när $\varphi=3\pi/4$ t.ex? Vad händer för andra värden?

Vad kan man dra för slutsats?

Tack för din kommentar.

Gränsvärdet saknas för olika $\phi$ ger olika funktionsvärden.

Finns det andra sätt att lösa uppgiften på, utan att inse att gränsvärdet saknas om man provar för några värden på $\phi$ ?

I min bok tipsas det om absolutbelopp för att lösa liknande problem men jag förstår inte hur man bör göra i det här fallet då vi har en exponentialfunktion.

Det speciella med $\varphi=3\pi/4$ är alltså att parentesen blir 0, dvs uttrycket reduceras till $f(r)=-1/2r^2$ vilket går mot det oegentliga gränsvärdet $-\infty$ när r går mot $\infty$ .

I övriga fall kan man visa att uttrycket går mot 0 mha instängning eftersom $|\sin(2\varphi)|\leq 1$ och exponentialfunktionen växer snabbare än varje potensfunktion.

Hej!

Uttryckt i planpolära koordinater $(r,\theta)$ är gränsvärdet lika med

$\displaystyle\lim_{r\to\infty} 0,5r^2e^{-r^2(1+\sin 2\theta)}\cdot\sin 2\theta.$

Vad blir gränsvärdet när $1+\sin 2\theta$ är lika med noll?
Vad blir gränsvärdet när $1+\sin 2\theta$ inte är lika med noll?

Guggle skrev:
I övriga fall kan man visa att uttrycket går mot 0 mha instängning eftersom $|\sin(2\varphi)|\leq 1$ och exponentialfunktionen växer snabbare än varje potensfunktion.

Hur gör man det?

Tack för hjälpen, jag tror att jag förstår hur man löser uppgiften.

sexlaxarienslaksax skrev:
Guggle skrev:
I övriga fall kan man visa att uttrycket går mot 0 mha instängning eftersom $|\sin(2\varphi)|\leq 1$ och exponentialfunktionen växer snabbare än varje potensfunktion.
Hur gör man det?

Vad du har visat är att gränsvärdet längs linjer där $\sin(2\varphi)=-1$ (dvs $\varphi=3\pi/4+n\pi,\, n\in\mathbb{Z}$ ), inte existerar men kan sägas gå mot det oegentliga gränsvärdet $-\infty$ samtidigt som varje annan linjerestriktion av f ger gränsvärdet 0 (ett påstående som följer av instängningsregeln för gränsvärden, eftersom f är en restriktion av en variabel gör du på precis samma sätt som du gjorde i envariabelnanalysen).

Om två envariabelfunkioner (restriktioner) går mot olika gränsvärden kan gränsvärdet av f inte existera.

Tack för hjälpen

Svara

Visa senaste svar