Flerdim: dubbelintegral

Välkommen till Pluggakuten! Jag antar att du gjort den inre integreringen, med tanke på hur du pratar om partiell integration och polynomdivision:

$$\begin{gathered} {\int }_0^1{\int }_0^y\frac{2y}{1+x^2} dxdy={\int }_0^1{\left[2y·\arctan \left(x\right)\right]}_{ 0}^{y}dy= \\ {\int }_0^{1}2y\left(\arctan \right(y)-\arctan (0\left)\right) dy={\int }_0^{1}2y·\arctan \left(y\right) dy \end{gathered}$$

Det låter som en alldeles utmärkt lösning! Partiell integration ger ${\int }_0^{1}2y·\arctan \left(y\right)dy={\left[y^2·\arctan \left(y\right)\right]}_0^1-{\int }_0^1\frac{y^2}{1+y^2}dy$

Polynomdivision ger nu att $\frac{y^2}{1+y^2}=1-\frac{1}{y^2+1}$, vilket ger integralen:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}2y·\arctan \left(y\right)dy={\left[y^2·\arctan \left(y\right)\right]}_0^1-{\int }_0^1\frac{y^2}{1+y^2}dy= \\ {\left[y^2·\arctan \left(y\right)\right]}_0^1-{\int }_0^1\left(1-\frac{1}{y^2+1}\right)dy= \\ {\left[y^2·\arctan \left(y\right)\right]}_0^1-{\left[y-\arctan \left(y\right)\right]}_0^1=\arctan \left(1\right)-1+\arctan \left(1\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1 \end{gathered}$$

:)

Smutstvätt skrev:

Välkommen till Pluggakuten! Jag antar att du gjort den inre integreringen, med tanke på hur du pratar om partiell integration och polynomdivision:

$$\begin{gathered} {\int }_0^1{\int }_0^y\frac{2y}{1+x^2} dxdy={\int }_0^1{\left[2y·\arctan \left(x\right)\right]}_{ 0}^{y}dy= \\ {\int }_0^{1}2y\left(\arctan \right(y)-\arctan (0\left)\right) dy={\int }_0^{1}2y·\arctan \left(y\right) dy \end{gathered}$$

Det låter som en alldeles utmärkt lösning! Partiell integration ger ${\int }_0^{1}2y·\arctan \left(y\right)dy={\left[y^2·\arctan \left(y\right)\right]}_0^1-{\int }_0^1\frac{y^2}{1+y^2}dy$

Polynomdivision ger nu att $\frac{y^2}{1+y^2}=1-\frac{1}{y^2+1}$, vilket ger integralen:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}2y·\arctan \left(y\right)dy={\left[y^2·\arctan \left(y\right)\right]}_0^1-{\int }_0^1\frac{y^2}{1+y^2}dy= \\ {\left[y^2·\arctan \left(y\right)\right]}_0^1-{\int }_0^1\left(1-\frac{1}{y^2+1}\right)dy= \\ {\left[y^2·\arctan \left(y\right)\right]}_0^1-{\left[y-\arctan \left(y\right)\right]}_0^1=\arctan \left(1\right)-1+\arctan \left(1\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1 \end{gathered}$$

:)

Hej, och tack så mycket! Jag kom så långt till polynomdivisionen, men tyckte att det såg så himla konstigt ut, och gav upp därifrån. Men nu ser jag att det är sättet att lösa det på. Nu förstår jag hur jag ska göra framöver.

Tack så hemskt mycket för hjälpen!!

Det är lätt att ge upp när man ser något sådant, men det gäller att kämpa emot. Ofta krävs det några olika metoder för att nå fram till svaret. :)

Varsågod, varmt välkommen hit! :)