Flerdim | Bökigt gränsvärde

Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna det:
$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} (1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2+xy^2}}$

Jag har omvandlat till polära koordinater och fått:

$(1+r^2)^{ \frac{1}{r^2 \cdot (1+ \cos \phi \sin^2 \phi) } }$

$(1+\frac{1}{1/r^2})^{ \frac{1}{r^2} \cdot \frac{1}{(1+ \cos \phi \sin^2 \phi)} }$

Vi har ett standardgränsvärde som blir $e$ då $r \rightarrow 0$ men jag vet inte hur jag ska göra med $\phi$ . Jag måste väl använda absolutbelopp på något sätt samtidigt som jag gör gränsövergången till $e$ eller?

$e^{\frac{1}{1+ \cos \phi \sin^2 \phi}}$

Kan ni snälla hjälpa mig?

Hej!

Du har skrivit exponenten $1/(x^2+y^2+xy^2)$ men räknat som om den vore $1/(x^2+y^2+xy).$

Albiki skrev:
Hej!
Du har skrivit exponenten $1/(x^2+y^2+xy^2)$ men räknat som om den vore $1/(x^2+y^2+xy).$

Tack, jag får liknande svar med samma problem med $\phi$ . Jag har rättat till misstaget ovan.

Jag har fortfarande inte löst problemet. Någon annan som kan hjälpa?

Du har slarvat när du gått över till polära koordinater. Det ska bli:

$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \left(1+x^2+y^2\right)^{\frac{1}{x^2+y^2+xy^2}}=\lim_{r \rightarrow 0} \left(1+r^2\right)^{\frac{1}{r^2+r^3\sin^2\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)}}$

Om man bryter ut $\frac{1}{r^2}$ i exponenten får man:

$\lim_{r \rightarrow 0} \left(\left(1+r^2\right)^{\frac{1}{r^2}}\right)^{\frac{1}{1+r\sin^2\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)}}$

Tänk nu. Vad går $(1+r^2)^{\frac{1}{r^2}}$ mot när $r \rightarrow 0$ , och vad går $\frac{1}{1+r\sin^2\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)}$ mot när $r \rightarrow 0$ ?

e och 1?

Just det. Vad blir då gränsvärdet?

Tack för hjälpen

Svara

Visa senaste svar